VI. — Sur la sommation des indicateurs (o
Si l'on désigne par So(n) la somme des indicateurs des n premiers nombres et par/?, q^ r, ... tous les nombres premiers qui ne surpassent pas iiy on a la formule
On a, par exemple, pour ai = 6,
par suite,
22<p(6) = 36-f-i— 9 — 4 — n-n-o-ho — o = 2f, et ToD a
ç(i) -4- 9(2) -f- ç(3) -h <p(4) H- <p(5) 4- <p(6) = ta.
Pour démontrer la formule (i), il suffît donc de faire voir que, si elle est vérifiée pour les (n — i) premiers entiers, elle subsiste pour les n premiers. Lorsque Ton passe de (n — i) à n, le second membre de cette formule augmente de
j„.,.,,-2[(Eïy-(e^)']
mais si Ton observe que la différence
est égale à i ou à o, suivant que x est ou n'est pas diviseur de n, et si Ton désigne par a, 6, c, ... les diviseurs premiers de n et par {jl leur nombre, Texpression (2) devient
ou encore
c'est-à-dire 2(p(n), puisque la somme alternée des coefficients du binôme est égale à zéro.
La formule (i) a été donnée par M. Perott, dans le Bulletin des Sciences mathématiques (t. IV); la démonstration précédente nous a été communiquée par M. J. Hammond.
VII. — Sur les permutations circulaires avec répétition ( n* 224 ).'
Lorsque n désigne un entier quelconque, le nombre des permutations rectilignes de n objets tous différents est égal an! et le nombre des permutations circulaires est égal à (n — 1)!
Mais il n'en est plus ainsi lorsque les objets ne sont pas tous distincts;
si Ton suppose a, p, y ^ objets respectivement égaux à a, 6, c, 1
et si Ton fait
le nombre des permutations rectilignes est
ni
mais il reste à déterminer le nombre G(n) des permutations circulaire?. Si les n objets sont tous différents, on a la formule
(2) /jG(/i) = R(/i),
parce que chaque permutation circulaire peut être ouverte à n places pour former des permutations rectilignes distinctes. La formule (2) subsiste encore si les nombres s, p, y> • • •? ^ ^^^^ premiers entre eux; mais, si ces nombres ont un codiviseur autre que l'unité, il y aura des permutations circulaires qui se composeront de groupes identiques et qui produiront, par leur ouverture, moins de n permutations rectilignes correspondantes. Ainsi, par exemple, soient les quatre objets a, a, b, b, la permutation circulaire
0 a donne les quatre permutations rectilignes
et la permutation circulaire
h b ne donne que deux permutations rectilignes
cuibb, abba, bbaa, bcuib.
abab, baba.
Désignons par D le plus grand codiviseur des nombres a, 3, y X
et par />, q^ /*, ... les facteurs premiers qu'il contient. Si l'on retranche de G(/i) et de R(a) toutes les permutations qui peuvent se décomposer en groupes égaux, les permutations rectilignes qui restent sont n fois plus nombreuses que les permutations circulaires correspondantes; par conséquent, les deux expressions^
NOTES ET ADDITIONS. 5o3
soni égales. Posons, pour abréger, Q(a7)= - R(ir), on a donc la formule
Ci)
.Q,„,yi,(=).2i«(^)--
Si nous supposons d*abord D égal à un nombre premier />, au produit (le deux nombres premiers p et q^ ou à une puissance p^ d'un nombre premier, nous trouvons respectivement
ri) G(,i) = Q(n)+(i~i)Q(^),
J0,„, = „„,.(,-!)Q(=).(,-i)Q(;) JG„„-Q(»)*(,-;)Q(:).(.-l)Q(i)
On aperçoit ainsi la formule générale suivante, dans laquelle o désigne I(* symbole de Tindicateur (n° ^16), et d un diviseur quelconque de D
On peut démontrer la généralité de la formule (7) en faisant voir qu'elle est vraie pour la valeur D du plus grand codiviseur de a, p, y? • • • 1 ^ lorsqu'elle est admise pour tout diviseur de D; on peut aussi démontrer directement l'exactitude de la formule (7), que Ton peut encore écrire sous la forme
(8) G(«)r.l2?(rf)R(5),-
Le contenu de cette Note nous a été communiqué par M. le colonel
