VIII. — Sur les restes du triangle arithmétique (n

Nous avons déjà indiqué le moyen de calculer le reste de la division <run terme quelconque G',râ du triangle arithmétique de Pascal par un

'io4 NOTES ET ADDITIONS.

nombre premier />, en ramenant les indices m et n k des entiers compris entre o et p. On peut encore simplifier cette recherche et ramener le$

indices à des nombres dont l'un ne dépasse pas E -y et Tautre E ^v par

les considérations suiv^intes, que nous avons tirées du Mémoire de Cacchy. tout en simph'fiant l'exposition et les démonstrations (/oc. cit.^ p. 23i-2j3). iMuis, pour la symétrie des calculs et pour leur extension à la détermination des restes des coefficients dans les puissances d'un polynôme, par un module premier p^ il est préférable de remplacer le triangle de Pascal par le carré arithmétique de Fermât (n**53). Soit donc un terme quelconque

F y __ {T-^y). __ pj.

nous pouvons supposer, par les formules du n** 228,

^ P — I -r-r-^'</>— I et a:-<^

D'autre part, si Ton désigne par x^y, z trois entiers positifs dont lu somme égale (/> — i), on a

ou, par la première formule de la page 420 et en raison de la symétrie.

^-=r'rî=' iKFj. = (-i)rFf = (-i)îF>; (mod./>):

on en déduit

Fi : - ( - I )' FJ-*-'"^ (mod. p).

Far la formule précédente, on peut supposer

yKp-i-x-y ou y<:'

<'l, puisque x^y^ on peut supposer

Par conséquent, pour un module donné />, on construit le carré arithmétique de Fermât par la loi de formation ordinaire, en ne conservant

que les restes minimums pour des valeurs de x qui ne dépassent pas E t:«

et pour (les valeurs de y qui ne dépassent pas E -• On a, par exemple,

pour p = 19,

Restes du carré arithmétique de Fermât par 19.

On vérifie les calculs en observant que, si l'on détermine, par la loi de formation, le terme qui suit le dernier de chaque ligne horizontale, on <Ioit obtenir un reste égal et do signe contraire au précédent si x est impair, et égal à l'antéprécédent si x est pair.

Lorsque le module p dépasse 5o, le Tableau des restes devient trop étendu ; cependant, lorsque le nombre premier p ne dépasse pas 1000, on peut calculer les restes du triangle arithmétique par des additions, au moyen de Tables construites par Jacobi, et désignées sous le nom de Canon arithmeticiis, La théorie et l'application de ces calculs seront exposées plus loin.