IX. — Sur le théorème de Staudt et Clausen (n

Al. Hermite a indiqué une méthode de calcul des nombres entiers A flont nous allons simplifier la démonstration, tout en lui laissant une forme plus générale. Cette méthode, dit l'illustre auteur dans sa Lettre à Borciiardt {Journal de Crelfe, t. LXXXI, p. 93), conduit à la connaissance d'un grand nombre de fonctions numériques venant se joindre à toutes celles dont la théorie des fonctions elliptiques a donné l'origine et les propriétés.

Soit un polynôme y(j"), à coefficients entiers, et

?K^; rî Idxr dxr~\ '

les polynômes o,ix) ont aussi leurs coefficients entiers. Au moyen de la formule de Taylor, l'équation fondamentale pour le calcul des nombres dt* Bernoulli (n* 133)

/( B -f- X H- I) -/( B -t- X) •A./'(ar)

peut t^tre écrite sous la forme

/' (x) = Boço -H B, ç>, -f- B,9, H-

Si Ton remplace les nombres B en fonction des nombres entiers A ftiurnis par le théorème de Staudt, on trouve, en posant

-I = AoÇo-f- AiG, ~ A,o,-+- ... ~/'(.r),

•'l pour /f premier

lu foriiiiih*

D'ailleurs £p est un nombre entier pour toute valeur entière de x, car, ni la somme des fractions

abc l

ilont les dénominateurs désignent des nombres premiers différents, est é^ale à un nombre entier, chacune des fractions de la somme est égale à un nombre entier.

l'^n supposant f{x) — x*"-*, on retrouve les deux propositions ili* M. Hebmite, savoir :

l^cs expressions

rt

/> \ xP-^ x^p-* ' x^p-^ "'/ sftnt fies nombres entiers, ^i x est entier et p premier.