ltp^X = -Wo-+- «oH-Wl
De même, si l'on ajoute les égalités obtenues en remplaçant p par 6; 1 , 2, ' :-: p, dans l'égalité (li), on trouve
Xî Up^l = 2* Mo -+- 2 Mo -H 2 Ml H- 2 M, 4- ... -i- 2 Mp ;
et de même, en général,
Cette relation subsiste lorsque Ton augmente tous les indices des ]S d'un entier quelconque; d'ailleurs, on suppose par convention ^^Up= Up, pour l'indice zéro des 2. De même, puisque l'on peut supposer que le Tableau commence à une ligne quelconque, on peut augmenter tous les indices des u d'un entier quelconque a. On a donc la formule générale
Par conséquent : Tout nombre de Vintérieur dun Tableau de sommes est égal à la somme (Tun nombre quelconque de termes consécutif s placés immédiatement au-dessus de lui dans la colonne précédente, augmentée du terme qui suit le plus élevé de celle-ci.
Reprenons la première des relations (i). En passant à la ligne et à la colonne suivantes, c'est-à-dire en augmentant successivement rindice de S et celui de u d'une unité, on obtient les égalités
2wi = Wo-t-- wo»
2* «2= 2 MiH-2«Mi,
2/»+» Up^i =I,Pup-i- ^P^^Up.
En les ajoutant et en supprimant les parties égales dans les deux membres, on a
(4) 2P+»apH.i= Mo-h2MoH-2«Wi-f- ... -h 2/»-»-» m
cette relation subsiste dans toute l'étendue de la Table, et l'on peut augmenter d'un entier quelconque a l'indice des u. On trouve ainsi la somme des nombres consécutifs d'une diagonale descendante ^\ , tandis que la formule (3) donne la somme de nombres consécutifs d'une colonne ^ .
Si l'on suppose les nombres du Tableau placés sur les cases
Kl . LIVRB I. — LES >01IBRRS ENTIERS.
il'nn échiquier An! ou indéHni uO^, lu connaissance de deux suites (il! nombres placés dans les cases crises {Jig. 3) permet de remplir Ion les les cases de récliiquicran uinjen de l'opération indiquée par A {fig- 4)j le nombre contenu dans la case noire élan t éf^là la somme des nombres contenus dans les deux cases grises supérieures. Celte iîfîure, i|ui se reproduit dans toulc l'étendue de l'échiquier, est la
Fie- 3-
Echiqi
ilhmëtiriui:
représentation géométrique de la loi de formation dn Tableau des sommes.
Si l'on remplace la case grise de droite, dans A {fig- .\), par la somme des nombres contenus dans les deux cases de la ligne
Somma lion par colonnes.
précédente, on obtient la ^^. A,; puis, en répétant la même opération, on a encore les /7^', Aj, Aj, A,, .... Dans chacune
CHAPtTRB I. — ADDITION DES NOMERBS B^TIERS. U
d'elles, le nombre de la case noire est. la somme des nombres contenus dans les cases grises.
Au lieu de remplacer )a case grise de droite, on peut remplacer celle de gauche, dans A, cl l'onoblîent B,, B^, D,, ... {Jig. 3), qui correspondent à la seconde propriété du Tableau des sommes.
Fig. 5.
aHllH
Sommation par diagonales.
1^ juxtaposition d'un nombre quelconque de ces figures donne autant de relations que l'on vent, et ainsi dans C clD {Jig- 6); la somme des nombres renfermés dans les cases noires est égale à celle des nombres eonlenus dans les cases grises.
Sommation par Iran s versait
\^ fig. C nous montre comment on peut déduire la suite de FlBOMACCt des diagonales ascendantes du triangle arithmétique.
6. aénérftIisationB du Tableau des sommes et de la suite de Fl- Imoac^. — On peut considérablement amplifier les considéra-
l4 LIVRE I* — LES NOMBRES ENTIERS.
terminer le nombre des manières de lire le mot cabalistique. Le nombre des lectures se calcule parle Tableau {fig, ii).
Fig. II.
lo iG 19 lO 10 4 *
Marclics du roi des échecs.
Chacun des nombres du Tableau est c«;al au nombre place au-dessus de lui, au<;:menté des deux nombres voisins: la somme des nombres de chaque li;;ne est une puissance de 3. D'ailleurs, nous verrons plus loin que le triangle de Pascal représente les C(>eflloient»î du développement de la puissance (JT-Hi)'» du binùme, et que le Tableau |>récédent représente les coefficients du développement de (.r'-f- t -f- i)".
Le calcul précédent j)ermet de déterminer successivement le nombre des marches du Roi au jeu des échecs, en supposant que le roi avance continuellement d'un ran«; vers le camp opposé, sur un échiquier illimité, c'est-à-dire en progressant j)ar cases consécutives dans les trois sens y >J. ^ . Mais, dans le cas d'un échiquier limité, il faut mettre des zéros sur les cases qui correspondraient à l'extérieur de l'échiquier, tout en conservant la même loi de formation.
Exemple III, — De combien de manières un pion du jeu de dames, placé
Fip. 12.
iO
•JLO
lâG
Marches du ]iion du jeu de dames.
en un coin du damier, peut-il se rendre sur le bord opposé, c'est-à-dire en progressant [)ar cases consécutives dans l'un des deux sens ^/ et V .
CHAPITftE I. — ADDITION DES NOMBRES ENTIERS. l5
On forme un Tableau comme celui du triangle arithmétique) dans lequel chaque nombre du Tableau est égal à la somme des deux nombres de la ligne précédente qui sont les plus rapprochés {fig» ri). Si l'on fait la somme des nombres de chaque ligne, ainsi que nous l'avons calculé à gauche de la figure, on trouve pour le damier de lo cases de côté que le nombre demande est 126.
En général, si le damier a 2/1 cases de côté, le total de la dernière ligne est égal au nombre G ï^i| du triangle de Pascal, et si le damier a (2/1 H- 1) cases de côté, le total est égal à G,;,.
Exemple IV, — On trouve dans le tome IV du Recueil des Machines (le r Académie des Sciences (1704) la description d'un appareil ingénieux pour opérer automatiquement Taddition et la soustraction, et qui appartient au Gonservatoire des Arts et Métiers; c'est V Abaque de Perrault. Tout récemment cet appareil a été perfectionné et publié, à Paris, sous le nom àWrithmo graphe de Troncet.
l6 LIVBE I. — LES NOMBRES ENTIERS.
