CHAPITRE II. — SOUSTRACTION DES NOMBRES ENTIERS. IQ
Les formules algébriques, équivalentes aux fig. A, B, C, D, subsistent quelles que soient les valeurs positives, nulles ou négatives, des nombres donnés (qui sont renfermés dans les traits forts) lorsque l'on augmente les indices des 2 et des A d'une même quantité, ou encore les indices des u d'une quantité quelconque.
Fig. 14.
A* Mo
A3 Mo
A«Mo
A Mo
Mo
2 Mo
S«Mo
2» Mo
2* Mo
Mi
Uz
Tableau de sommes et différences.
Le Tableau de sommes possède encore des propriétés importantes. Si l'on multiplie tous les termes par un même nombre ou si l'on change les signes de tous les termes, on obtient encore un Tableau de sommes. Plus généralement, si l'on superpose plusieurs Tableaux de sommes, après avoir multiplié respectivement les termes de chacun d'eux par des nombres quelconques, les nombres obtenus en faisant les sommes algébriques dans chaque case forment encore un Tableau de sommes.
13. Sommes alternées. — On appelle somme alternée de n quantités positives ou négatives^ Wq» "o ^2, . • ., la somme algébrique de ces quantités prises alternativement avec le signe -f- et avec le signe — , c'est-à-dire la valeur de
Mo — Mi-+- Mj— M34- —
'^O LIVRE 1. — LES NOUBBBS ENTIEBS.
Les propriétés qui résullcnl des fig. A, li, C, D du Chapitre I peuvciil s'énoncer delà manière suivante : Si l'on prend avec leurs signes les nombres contenus dans les cases noires et avec les 5i{^nes contraires les nombres contenus dans les cases grises, la somme algébrique des nombres d'un Tableau de sommes el difTérences compris sur ces figures est toujours nulle.
Si l'on déplaceA(^^. 4) horizon talcment, en changeant, à cbaque déplacement d'un rang, la couleur des cases, on obtient les figures lellcs que E qui permettent de calculer les sommes alternées des termes d'une même ligne {Jig- i5).
En particulier, pour le triangle de Pascal, la somme alternée d'un nombre quelconque de termes d'une même ligne, à partir du premier, est égale en valeur absolue au terme placé au-dessus du dernier dans la ligne précédente.
Si l'on déplace A {Jig. 4)i parallèlement à la diagonale ascendante ^ , en changeant à chaque déplacement la couleur des cases.
FiR. .5.
Soronalion alterna.
on obtient des figures telles que V {Jlg- i6), qui permettent de calculer les sommes alternées des termes d'une parallèle à la diagonale ascendante.
Ainsi, pour le triangle de Pascal, la somme alternée de tous les termes d'une diagonale ascendante est égale à la dilTérence des
