CHAPITRE III. — MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS
17. Numération décimale. — Objet de la numération en général. — Système de numération décimale. — Numération parlée et numération écrite. — Valeurs absolues et valeurs relatives des chifTres. — Emploi du zéro.
Addition et soustraction dans le système décimal. — Méthode des compléments. — Calcul mental. — Multiplication.
Exemple I. — Exemples d'addition :
Exemple II, — Devinette : On dit à une personne d'écrire trois nombres de cinq chiffres, en annonçant que Ton écrira trois autres nombres, pour former le total 299997. — Il suffit de placer au-dessous de chacun des nombres écrits par la personne des nombres dont les chiffres soient les compléments à 9 des chiffres écrits au-dessus. Le total sera 3 x 99999* Ce problème peut être varié de bien des manières.
Exemple III. — La Table de Pythagore avec les deux mains. Si Ton sait les produits des entiers jusqu'à cinq fois cinq, on obtient le produit des autres jusqu'à neuf fois neuf par l'artifice suivant. Soit à multiplier (5 -h a) par (5 4- b)\ dans Tune des mains, on lève a doigls et l'on baisse les autres en nombre (5 — a)\ dans l'autre main, on lève b doigls et Ton baisse les autres en nombre (5 — b). Cela fait, le produit se compose d'un nombre de dizaines égal au nombre de tous les doigts levés, plus le produit des unités que représentent les doigts baissés. Cet artifice se vérifie par l'identité
(5 -+- a) (5 -+- 6) = io(a -+- 6) -f- (5 — a) (5 — 6). Ce procédé est employé couramment en Syrie.
18. Tables de multiplication. — La première colonne et la première ligne de la Table forment la série des nombres entiers. On forme la seconde colonne en ajoutant successivement le nombre a, la troisième colonne en ajoutant successivement le nombre 3, et ainsi de suite.
■l6 LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.
De cette façon la Table de Pythâgore peut être étendue rapidement dans le sens horizontal ou dans le sens vertical. Comme vérification, les lignes et les colonnes se reproduisent de dix en dix, à partir de la première, par Fadj onction du zéro.
L'observation de la Table de Pythâgore montre que le produit de deux nombres ne change pas lorsqu'on les remplace l'un par l'autre. On démontre ce théorème par figuration géométrique ou en faisant voir que, si Ton a
au = bOy
on a encore des produits égaux en augmentant l'un des facteurs d'une unité, c'est-à-dire que
Facteurs d'un produit. — Preuve de la multiplication de deux nombres inégaux.
Il existe des Tables de multiplication très étendues. Les Bechenta/eln, par Crelle, contiennent tous les produits des nombres de trois chiffres. Pour la multiplication des nombres ayant plus de trois chiffres, on procède par paquets ou par tranches de trois chiffres.
Quatre éditions stéréotypées de ces Tables de calcul, ouvrage très pratique, ont été publiées par le D*" Bremiker ( Paris, Gauthier- Villars, 1880).
Le premier ouvrage de ce genre est intitulé : Tabulée arithmeticœ universaleSf par Hervart de Hohemrurg ; il contient, en mille pages in-folio, les produits des mille premiers nombres. Il date de 1610, quatre ans avant l'apparition du Canon miri/icus, de Neper. Pendant longtemps, Tinvention des logarithmes a nui aux calculs exacts et, par suite, à la théorie des nombres.
Exemple I. — Multiplication d'un nombre par 11, 1 1 1 , 1111, . . . . — Au lieu d'écrire le multiplicande, le multiplicateur 11, puis deux fois le multiplicande avant d'avoir le produit, on obtient tout de suite celui-ci de la manicMC suivante. On écrit le chiiïrc des unités, on ajoute le chiffre des unités à celui des dizaines, puis le chiffre des dizaines à celui des centaines, el ainsi de suite en tenant compte des retenues. Par exemple, les quatre
