VIII PREFACE

Il serait trop long de donner la liste des ouvrages qui ont paru en Allemagne, dans ces dernières années, sur le sujet qui nous occupe. Nous nous bornerons à citer les Leçons de Lejeune-Dirichlet, publiées par m. Dedeki^d iVorlesungen liber Zahlenlheorie. La troisième édition de ce délicieux traité (Brunswick, 1881) contient, en dehors de la démonstration du célèbre théorème de Dirichlet sur la présence des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, de remarquables et importantes additions de l'éditeur sur l'Arithmétique générale. Pour terminer, nous citerons les I^eçons académiques de M. Bachmann sur la dernière section des Disquisitiones de Gauss, sous le titre : Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zur Zahlen- ///eo/'fV (Leipzick, 1872).

Telles sont les principales sources d'où notre œuvre découle.

Depuis longtemps, nous avons amassé et recueilli des documents nombreux, intéressants, de tous auteurs et de tous pays, pour écrire un livre sur le sujet qui nous occupe. Nous y ajoutons une partie de nos propres recherches, que nous avions publiées dans ce but, au jour le jour, un peu partout et notamment dans les Comptes rendus^ les Bulletins des Académies des Sciences de Turin, Rome et Saint-Pétersbourg, de la Société mathématique de France ; dans VAmerican Journal, a Baltimore, dans les Comptes rendus de l'Association française pour l'Avancement des Sciences, dans les Noui^elles Annales de MaihématiqueSy dans la Nom^elle Correspondance et dans Mathesis^ à Bruxelles et à Liège, dans le Messenger of MatheinadcSy à Cambridge, etc.

Il nous reste à indiquer le plan général de ce livre. Nous

PREFACE. l\

prenons la science à son origine et, dansTIntroduction, nous indiquons les débuts, les progrès et les applications de TArithmétique, tout en restant dans les idées générales. Nous compléterons cet exposé, s'il y a lieu, pour les volumes qui suivront. Nous insistons sur les procédés du calcul, d'autant plus qu'on les néglige dans les éléments, à ce point que la construction des tables de multiplication est enseignée d'une manière défectueuse. Nous mettons les calculs dits algébriques en face des calculs de TArithmétique ordinaire, car nous considérons le nombre entier d'une manière générale, indépendante de son enveloppe, positif ou négatif, soit qu'on le représente par des boules, par des chiffres ou par les lettres de Talphabet. Ce n'est pas dans la manière de figurer les nombres, de les habiller pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmétique de l'Algèbre, mais c'est surtout dans l'essence même des nombres, dans la manière de les concevoir. La ligne de démarcation entre l'Arithmétique et l'Algèbre provient de l'idée que l'on se fait du nombre, suivant qu'on le considère comme grandeur, ou simplement comme numéro d'ordre, c'est-à-dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de continuité ; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algèbre, c'est-à-dire des fonctions analytiques.

Pour tout ce qui concerne les éléments du calcul, numérique ou littéral, les développements marchent parallèlement, quand on exclut la continuité. A toutes les opérations du calcul décimal correspondent les opérations analogues du calcul sur les polynômes et ainsi pour la multiplication et pour la division, pour la recherche des diviseurs et dcsmul-