PREFACE

tiples communs des nombres et des polynômes entiers, pour la décomposition en fractions simples et pour le développement en fractions continues des nombres fractionnaires et des fractions rationnelles, pour la décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers et d'un polynôme en facteurs irréductibles, etc. Mais il existe une différence profonde entre ces deux caleuls, aussitôt que Ton introduit la notion de continuité et, par suite, d'incommensurabilité; nous citerons quelques exemples.

Dans la théorie des équations algébriques, les théorèmes de Descartes et de Newtoî^ (*), de Rolle et de Sturm apprennent à connaître le nombre des racines réelles d'une équation, comprises entre deux limites données; mais il n'existe, quant à présent, rien de pareil en Arithmétique, et nous ne connaissons aucun procédé de calcul pour déterminer le nombre des facteurs premiers d'un entier donné compris entre deux limites. La méthode de Hudde, dite des racines égales, permet de décomposer tout polynôme contenant des facteurs multiples; mais il n'existe aucun procédé pour connaître les facteurs multiples d'un entier donné. Enfin la théorie des fonctions donne naissance, par les développements en séries, à des suites de nombres, qui sont les coefficients des puissances des variables; mais la formation de ces coefficients et leurs propriétés appartiennent essentiellement à l'Arithmétique, lorsque l'on peut former ces nombres, indépendam-

(*) Le théorème de Dbscartes donne une limite supérieure des racines réelles d'une équation par le compte des variations, c'est-à-dire des successions des signes de tous les ensembles formés par deux termes consécutifs; dans le théorème de NewtoNi on considère les ensembles de trois termes consécutifs. La démonstration de ce dernier théorème a été donnée pour la première fois par M. Syl-