CHAPITRE III. — MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

Exemple IV. — Le carré du nombre 9090909091 est un nombre formé de deux parties identiques. II en est de même du carré de ses neuf premiers multiples.

19. Multiplication rapide. — On peut effectuer très rapidement la multiplication de nombres de deux, trois, quatre, cinq chiffres par une méthode qui se trouve exposée dans le Liber Abbaci, Cette méthode permet d'écrire presque immédiatement le produit, sans écrire les produits partiels. Nous l'expliquerons sur deux nombres de trois chiffres; si les facteurs n'ont pas le même nombre de chiffres, on complète l'un d'eux par des zéros ajoutés soit à droite, soit à gauche.

Soient {fig* 28) abcQipqr deux nombres écrits dans le système décimal. On forme le produit cr\ on écrit le chiffre des unités de ce produit, et l'on ajoute la retenue «ttix deux produits br et cq

Fig. 23.

Dizaines

Centaines

K a^ 4' bp Mille

ap

Dizaines de mille

Multiplication rapide, au xiii* siècle.

qui représentent les dizaines; on écrit le chiffre des unités de ce total qui est le chiffre des dizaines du produit, et l'on ajoute la retenue à la somme des centaines ar-^bq-^-cp^ et ainsi de suite, conformément au Tableau {Jig. 23).

âO. BAtons néi>érien8* — Jean Neper, baron de Markinston, en Ecosse, a indiqué en 1617, dans sa Rhabdologie, une ingénieuse

méthode de calcul pour simplifier la multiplication et la division. Le tableau chiffré {Jig* ^4) représente la Table de Pythagore découpée en dix bâtons ou planchettes : la planchette à gauche est fixe ; toutes les autres sont mobiles et peuvent être permutées de toutes les façons. Pour l'enseignement, on les appuie sur un tableau muni d'une rangée de clous sur la ligne horizontale supérieure ; on peut y suspendre les planchettes, préalablement percées d'une ouverture à la partie supérieure. Chacun des carrés de la Table est divisé en deux triangles, par une diagonale ; dans le triangle du bas, on trouve les unités de chacun des produits, dans celui du haut et à gauche se trouve le chiffre des dizaines. Supposons que l'on ait placé à côté de la barre fixe, à gauche, les tablettes portant en haut et en bas les n®" 7, 5, 8, on obtient presque immédiatement les produits de 758 par tous les nombres, de 1 à 9. Ainsi, par exemple, devant le 6 de la colonne fixe, on trouve horizontalement et en

Fragments des bâtons de Neper.

faisant l'addition parallèlement à la diagonale ^*^ des carrés, le produit 4548, qui est le produit de 758 par 6. De même, pour les autres produits par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Donc les réglettes de Neper permettent de trouver rapidement, sans qu'il soit nécessaire de savoir sa Table de Pjthagore, mais par une simple addition de deux chiffres, tous les produits partiels d'un nombre de dix chiffres et plus. Ainsi, la multiplication se trouve ramenée à l'addition, et cette opération se trouve d'autant plus facilitée qu'il s'agit de nombres de plus en plus grands.

La belle invention de Neper provient peut-être d*une remarque sur Tune des nombreuses manières d'effectuer la multiplication chez les Persans et chez les Arabes. Voici, par exemple, la copie de la multiplication de 53i par 342 tirée du Traité d'Arithmétique d'AsouL Haçan Ali ben Moh4M-