HAPITRE III. — MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

du produit des (n — i) autres facteurs pris dans leurs ordres respectifs. Par suite, on aura ainsi pour cinq facteurs

i.i .a. I . I = i.i . i.i.a, b,i.a,i, I = I.I.6.I .a, b,i .a,i ,c = c.i.6.i.a, b,d»a. i .c = Cl .b,d.a^ b,d,a,e.c = c.e,b»d,a.

Le résultat du produit successif d'un nombre quelconque d'entiers positifs est indépendant de l'ordre dans lequel on effectue les multiplications. En outre, puisque l'ordre des facteurs est indifférent, on peut toujours supposer que deux d'entre eux occupent les deux premiers rangs, et les remplacer par leur produit, ou inversement.

Par conséquent, si l'on considère le produit d'un nombre quelconque d'entiers positifs, on peut remplacer deux d'entre eux par leur produit et opérer sur le nouvel ensemble de facteurs comme sur le premier, et ainsi jusqu'à ce que l'on arrive à un seul produit, qui sera toujours indépendant de l'ordre et du choix des multiplications opérées sur deux facteurs (voir n" 43, Exemple F).

Multiplier un nombre par le produit effectué de plusieurs facteurs revient à multiplier ce nombre successivement par chacun des facteurs du produit.

Pour multiplier un produit par un certain nombre, il suffit de multiplier par ce nombre un des facteurs du produit.

23. Puissances d'un nombre. -^ Carrés, cubes, bicarrés. — Degré d'une puissance. — Notation des exposants. Règles des exposants, — On a les deux formules

aP,a*i.a''=aP^i^'', [{aP)nY= aPt'',

Il ne faut pas confondre la notation (aP)^ avec la notation

aP^ qui veut dire a^i-*K

Multiplication des monômes. — On multiplie les coefficients et l'on ajoute les exposants.

Exemple /. — Les derniers chiffres des puissances {résidus potentiels dans le système décimal) sont

!"• puissances 0123456789

Les cinquièmes puissances sont terminées comme les premières; cette remarque a donné naissance au théorème de Fermât. Les derniers chiffres des puissances successives d'un nombre se reproduisent périodiquement de quatre en quatre.

Tout bicarré est terminé par Tun des chiffres o, i, 5, 6.

Exemple //. — Former les puissances successives de 2. — En doublant continuellement, on forme la suite des nombres

on vérifie les calculs par les résultats suivants :

la puissance de 2 d'exposant 196, égale à seize fois le cube de la précédente, se compose des soixante chiffres suivants :

Exemple III, — Vérifier la formule

Exemple IV. — Former les puissances successives de 5. On en trouve une table étendue dans la Préface des Tables de logarithmes de Gallet.

Exemple V. — Le chiffre des dizaines de mille d'une puissance quelconque de 5, ne peut être ni un 3, ni un 8. (Laisant.)

24. Table des carrés. — Si l'on remplace la première colonne des I du triangle arithmétique par des 2, on forme un autre Tableau de sommes. Alors la seconde colonne représente les nombres im-