MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS

pairs; la troisième colonne représente les nombres carrés, comme cela résulte immédiatement de la formule

En d'autres termes, les accroissements successifs des carrés sont les nombres impairs, et la somme des n premiers impairs

1) <Jj Jj «««j de tir ""^ I •

est égale au carré n^ de leur nombre. Ces procédés étaient connus de Pythagore et de Platon.

Fi g. 36.

Table des carrés.

On peut ainsi construire rapidement une Table des carrés, par additions successives, en se bornant aux trois premières colonnes du Tableau. On vérifie les calculs de dix en dix lignes, par les carrés déjà formés, en ajoutant deux zéros. L'économie de ce calcul est considérable, puisque, pour calculer la table des mille premiers carrés, il suffît de mille additions, au lieu de mille multiplications; d'autre part, cette méthode de calcul par différences possède l'immense avantage de présenter continuellement la vérification des calculs, de dix en dix lignes, ainsi que nous venons de le dire, tandis que la méthode directe des multiplications est incertaine pour chaque multiplication; on ne peut faire la preuve du résultat par l'interversion des deux facteurs du produit, puisque ceux-ci sont égaux.

Les propriétés du triangle arithmétique subsistent dans ce Tableau; mais on voit que chacun de ses termes peut se déduire du triangle de Pascal, en ajoutant aux termes de ceux-ci les termes obtenus en baissant d'une ligne le triangle arithmétique. Si l'on

oo;

OU les résidus quadratiques, dans le système décimal, et que les nombres 2, 3, 7, 8 ne le sont pas.

Cette remarque si simple a donné naissance, en supposant les nombres écrits dans un système quelconque de numération, à la théorie des résidus quadratiques, qui sera développée ultérieurement.

Exemple /. — Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par i ou par 9 est un nombre pair.

Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 5 est 2.

Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 4 est un nombre pair.

Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 6 est un nombre impair; réciproquement, si le chiffre des dizaines d'un carré est impair, le chiffre des unités est 6.

Un nombre n'est pas un carré parfait, si l'ensemble de ses deux derniers chiffres n'est pas l'un des vingt-deux nombres

Dans ses Nouveaux Éléments de Mathématiques (1689), Prestet donne la table des quatre derniers chiffres des carrés.

Exemple IL — Toute somme de deux carrés a un nombre pair de dizaines, si elle est terminée par i, 5, 9, et un nombre impair de dizaines, si elle est terminée par 3 ou par 7.

Exemple III, — Le carré d'un nombre termine par 8212 890 625 se termine de la même façon, et il n'y a qu'un seul autre nombre de dix chiffres (en exceptant dix zéros, ou neuf zéros suivis de i), qui possède la même propriété; c'est le nombre 1 787 109376.

Exemple IV, — Trouver les n derniers chiffres d'un nombre, connaissant les n derniers chiffres de son carré. — Par exemple, si les neuf derniers chiffres du carré d'un nombre sont 224 4o6 889, les neuf derniers chiffres de ce nombre sont parmi les groupes suivants :

265 8ioo83; 765 8ioo83; 363 466 333; 863 466 333; 734189917; 234189917; 636533667; i36533667.

Exemple V. — Connaissant le produit d'un nombre par le nombre renversé, retrouver les facteurs du produit.

Voir une Note de M. Laisant dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles (Bordeaux, 1876).