DIVISION ET CLASSIFICATION DES ENTIERS
27. Division des entiers. — La division est une soustraction abrégée de nombres égaux à un nombre donné. Défini lions du dividende, du diviseur, du quotient et du reste de la division.
Le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, augmenté du reste.
Opération de la division dans le système décimal. Nombre des chiffres du quotient.
Preuve de la division par la multiplication.
Dans le cas de la division exacte de a par 6, on désigne le quotient par Tune ou l'autre des notations
a : b ou £ ;
dans le cas de la division exacte, ou approchée à une unité près/>a/' défaut, on désigne le quotient de a par 6, au moyen du symbole
a fal
Division approchée /?6fr excès à une unité près. Division la plus approchée. — Reste minimum.
On a les propriétés suivantes :
I. Lorsque l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le quotient ne change pas, mais le reste est multiplié par ce nombre.
IL Diviser un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs revient à diviser ce nombre successivement par chacun des facteurs du produit, et réciproquement.
IIL Lorsque les divisions donnent lieu à des restes, le principe précédent subsiste pour la partie entière du quotient.
4o LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.
Exemple /. — Le nombre 9 est, de diverses manières, égal au quotient de deux nombres de cinq chiffres, en supposant tous les chiffres distincts. En effet, 9 est le quotient des divisions
97^^4 958;^ 9^74^ "5^49 ^8239 57429 10836' 10647' io638' o836i ' 06471' o638i *
Exemple II, — Le nombre 100 peut être écrit sous forme d'entier augmenté du quotient d'une division, avec les neuf chiffres signiflcatifs pris une seule fois, des diverses manières suivantes :
91 ^, 91 Z5g, 91 ^^ 94 li^, 638 836 047 263
Exemple III, — On écrit tous les nombres du système décimal à la suite les uns des autres; quel est le chiffre de rang donné? Si l'on partage les nombres en groupes de i, 2, 3, 4> .•• chiffres, le nombre des chiffres du
I*"" groupe est 9x1 ou 1x9,
3* » » 900 X 3 w 3oo X 9,
5® » 0 90000 X 5 » Soooo X 9.
Ainsi le total des chiffres des nombres des cinq premiers groupes est égal à 54321 x 9; celui des six premiers groupes est 654321 x 9, etc. Si l'on veut savoir quel est le 75892* chiffre de la suite, on remarque que ce chiffre appartient à un nombre de cinq chiffres; mais le nombre des chiffres des quatre premiers groupes est 38889. De plus.
et
ainsi le chiffre cherché est le troisième du 7401' nombre de cinq chiffres, c'est-à-dire loooo -\- 7400. Donc le chiffre demandé est 4»
Exemple IV. — On peut se proposer des questions analogues à la précédente, en n'écrivant : i** que les nombres pairs; 2** que les nombres impairs; 3* que les chiffres pairs; 4** que les chiffres impairs.
28. Division accélérée. — Lorsque le diviseur contient beaucoup de chiffres, on simplifie le calcul de la manière suivante. On écrit sur une bande de papier les dix premiers multiples du diviseur, que l'on forme par additions successives, avec preuve au
