CHAPITRE IV. — DIVISION DES NOMBRES ENTIERS

mojen du dixième multiple. Puis l'opération se réduit à une suite de soustractions ; elle s'accélère en pliant la bande de papier sous chacun des multiples ; on la tient de la main gauche au-dessus des dividendes partiels, que l'on écrit successivement par une simple soustraction. Cette méthode , très pratique , supprime les essais pour déterminer chaque chiffre du quotient ; elle est surtout avantageuse lorsqu'il s'agit de diviser plusieurs nombres par un même diviseur.

Si ron ne veut pas calculer les dix premiers multiples, on peut employer les Tables de Tripier, les réglettes de Neper ou de Pruvost-le-Guay, ou encore les réglettes de Genaille.

Exemple I, — Dwision d'un nombre par ^. — Soit le nombre 23547 à diviser par 9. On fait la somme des chiffres en partant de la droite, soit 21, dont le quotient par 9 est 2, que Ton ajoute à la somme des chiffres à partir des dizaines, et en comptant de droite à gauche, soit 16; on pose 6 et Ton retient i que Ton ajoute à la somme des chiffres de droite à gauche, en partant des centaines, soit 11; on pose 1, chiffre des dizaines et l'on retient i que Ton ajoute à la somme des chiffres en partant des mille ; soit 6, que Ton pose, et enfin 2, à partir des dizaines de mille. Le quotient est 2616.

En général, soit (abcde) un nombre écrit dans le système décimal, et que l'on veut diviser par 9; on a

a. 10^ = 9999.aH-rtr,

et, en ajoutant et en divisant par 9,

abcde , e-hd-^c-^-b-ha té = fci

-h ïo*(6-f- a)

29. Systèmes de numération. — Pour classer les nombres, pour étudier leurs propriétés, leurs combinaisons et leurs transformations, on peut employer divers systèmes de numération, et plus particulièrement celui de la numération décimale.

C'est aux Chinois et aux Hindous que Yen doit l'idée ingénieuse de ces échelles arithmétiques, de cet heureux moyen de représenter tous les nombres avec peu de signes, et d'exécuter, par des opérations techniques très simples, des calculs auxquels l'intelligence humaine, livrée à elle-même, ne pourrait atteindre. « C'est là, dit CoNDORCET, le premier exemple de ces méthodes qui doublent ses forces, et à l'aide desquelles elle peut reculer indéfiniment ses limites, sans qu'on puisse fixer un terme où il lui soit interdit de parvenir. »

Tout nombre entier, autre que l'unité, peut être pris pour base d'un système de numération. On a ainsi les systèmes de numération binaire, te mairie, quaternaire, ..., décimale, duodécimale, qui correspondent aux bases deux, trois, quatre, . . . , dix, douze.

Pour écrire un nombre dans un système de base B, on commence par adopter (B — i ) caractères destinés à représenter les (B — i ) premiers nombres. Ces caractères sont les chiffres

que l'on énonce comme à Tordinairc.

Pour la numération écrite, on fait cette convention, qu'un chiffre, placé à la gauche d'un autre, représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur, ou B fois plus grandes. Pour tenir la place des unités qui peuvent manquer dans certains ordres, on se sert du zéro, o ; par suite, le nombre des chiffres employés est toujours égal à la base du système.

Pour la numération parlée, on convient d'appeler unité simple, dizaine, centaine, mille, etc., les unités du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième, etc. Ainsi les nombres lo, II,..., 19 se liront de même dans tous les systèmes de numération ; les nombres i a, i b, ao, bo, ... se liront dix-a, dix-bé^ a-dix j bé-dix^ etc. Et 5 i^ 6« 71 c se lira cinq millions bé-cent, soixante-a mille sept cent dix-cé.

Les règles des opérations démontrées pour les nombres écrits dans le système décimal sont les mêmes pour les nombres écrits dans un système quelconque de numération.

Pour opérer rapidement dans un système quelconque de numération, il est indispensable de savoir par cœur toutes les sommes et tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre.