CHAPITRE IV. — DIVISION DES NOMBRES ENTIERS

Aristote avait observé que le nombre 4 pouvait très bien remplacer le nombre lo, comme base de la numération. Weigel publia à ce sujet, en 1687, le plan d'une Arithmétique tétractique, Simon Stevin, de Bruges, mort en i633, avait aussi imaginé le système de numération duodécimale, se rapprochant beaucoup plus de notre manière de compter les mois de l'année, les heures du jour, les degrés de la circonférence. Quant au système de la numération binaire, auquel nous avons consacré deux Chapitres dans nos Récréations mathématiques , il date de cinquantequatre siècles; il fut retrouvé par Leibniz.

On peut donc se demander si l'adoption d'une base autre que dix n'eût pas été préférable ; en d'autres termes, si l'accident de notre espèce qui fait que nous avons dix doigts aux deux mains s'accorde avec les conditions requises pour que le système de numération chiffrée soit le plus parfait possible. Ceci exige qu'on distingue la notation des nombres entiers et abstraits de celle des nombres concrets et fractionnaires. Sous le rapport de l'application du système de numération à celui des mesures, et à la subdivision de l'unité concrète, on est convenu, ainsi que Blffon Ta remarqué, que le nombre douze, à cause de ses quatre diviseurs : deux, trois, quatre, six, eût été une base plus commode que le nombre dix, qui n'a que deux diviseurs : deux et cinq.

D'autre part, Auguste Comte avait remarqué que la structure de la main, composée de quatre doigts à trois phalanges, ou de douze phalanges, permet de représenter avec les deux pouces posés sur deux phalanges tous les nombres jusqu'à treize fois douze; alors les phalanges de la main gauche représentent des unités simples, et celles de la main droite des grosses, ou unités de second ordre. Par suite, on pourrait ainsi compter sur ses phalanges dans le système duodécimal, plus facilement et plus loin que sur ses doigts dans le système décimal. Mais, si l'on se reporte au Calcul digital, ignoré de Comte, cette assertion est inexacte. Au moyen de ce calcul, professé dans les écoles, au temps de Charle- MAGNE, on représentait avec les doigts des deux mains tous les nombres jusqu'à dix mille.

Il serait plutôt permis de se demander si le choix d'une base inférieure à dix ne rendrait pas les calculs plus sûrs et plus faciles. En effet, B désig^nant la base du sytème de numération, il faut retenir de mémoire les "1 (B — i)(B — 2) valeurs différentes de la somme et du produit de deux nombres inégaux, et les (B — i) valeurs des premiers carrés, des premiers cubes. Par conséquent, les premiers frais de mémoire diminuent avec la base et les causes d'erreur seront moindres. Mais cet avantage est compensé par la nécessité d'employer plus de temps et de place pour écrire les nombres.

30. Échange des systèmes de numération. — Il s'agit d'écrire dans un autre système de base donnée un nombre quelconque écrit dans un premier système. De là, trois problèmes à résoudre.

Exemple V, — Tout nombre entier est la somme algébrique de puissances de 3, toutes différentes.

Voir, dans nos Récréations mathématiques, l'application du système binaire aux Boites de Poids, au Daguenaudier, à V Éventail japonais, au Jekim, à la Tour d* Hanoï,

31. Classiflcation des nombres. — Par rapport à une base ou module positif M, tout nombre entier quelconque a, positif ou négatif, peut se mettre d'une seule manière sous la forme li-

néaire

dans laquelle /* désigne Pun des M nombres positifs

Le nombre x est le quotient, positif ou négatif, de a par M à une unité près par défaut. D^ailleurs, si Ton avait de deux manières

a~y\x-~r et a = Mx'-f- r',

la diflférenee nulle

yi{x — x')->r r — r\

et, par suite, (/• — r) serait divisible par M, ce qui est impossible à moins de supposer r = r'. Le nombre r est appelé reste de a pour le module M.

Exemple. — Pour le module M = 2, il y a deux formes de nombres, les pairs et les impairs; pour le module M = 3, il y a trois formes de nombres; pour le module M = 4> il y en a quatre, savoir :

4M pairement pairs,

4M -T- I pairement impairs, 4M -f- 'À impairemcnt pairs, 4M -t 3 impairement impairs.

En acceptant les restes négatifs, un nombre entier quelconque est encore d'une seule niîinicre de la forme

a = Mx =h r,

et le reste minimum r ne peut surpasser en valeur absolue la moitié du module. Dans le cas de M pair, on convient de prendre