CHAPITRE IV. — CLASSIFICATION D£S NOMBRES ENTIERS

avec le signe 4- le reste égal en valeur absolue à la moilié du module.

Exemple, — Pour le module M = 5, tous les entiers sont, d'une seule manière, de Tune des cinq formes

Sx, Sx — \, bx±i'i,

et pour le module M = 6, tous les entiers sont de l'une des six formes

6a-, Carrbi, 6a-=t2, 6j7-h3.

32. Nombres congrus ou équivalents pour un module. — Deux nombres entiers a et 6, positifs ou négatifs, sont dits congrus ou équivalents pour le module M lorsque leur différence est divisible par le module. Pour exprimer cette relation, on peut écrire

a = b -r- mull. de M;

mais il est plus commode de se servir de la notation de Gauss

a^^b (mod M),

qui se lit a congru à b, pour le module M. D'autre part, on a étendu la signification du mot reste en disant que deux nombres congrus pour le module M sont résidus l^un de l'autre pour ce module.

L'égalité entre deux nombres, en supprimant les multiples du module, s'appelle congruence ou équivalence. La notation de Gauss permet de mettre en évidence l'analogie qui existe entre les égalités et les congruences, sans introduire de confusion.

Pour un même module, deux nombres congrus à un troisième sont congrus entre eux.

On peut ajouter ou retrancher membre à membre des congruences de même module.

On peut multiplier les deux membres d'une congruence par un même nombre entier.

On peut multiplier membre à membre les congruences de même module.

On peut élever à une même puissance les deux membres d'une congruence.

48 LITIB I. — LES NOMBRES EXTIERS.

En d'autres termes, si l'on a, pour le module M, les congrneDces

a ^ b, a' ^ b', a' ^ 6', on a encore

\a -r- j±/ï' -r- va' -~\b -¥- jx6' -t- v6',

aa'a = bb'b'^ ant £= ^«.

Plus généralement, si Ton désigne par f{x) un polynôme à coefGcIents entiers, positifs ou négatifs,

/kx) = \x'^-^ Bj-'»-»-f-Cx'-î-:-...-h K-r -hL,

la congruence

a ~ b (mod M), donne aussi

/{^a)-:.^/{b) (mod M).

33. Impossibilité de congruences. — Si l'on remplace successivement X par tous les nombres entiers dans un pohnôme /{x) à coefficients entiers, et si Ton prend les résidus pour le module M, ces restes se reproduisent périodiquement de M en M, puisque Ton a, quel que soit l'entier x^

/(j7) -/(x-i-M) (mod M).

Ainsi, par exemple, pour f(x) = x^ et pour M= lo, on retrouve les restes des carrés. En général, la suite des résidus de /{x) pour M valeurs entières et consécutives de x ne reproduit pas la série des M nombres

on en déduit alors Timpossibilité de résoudre la congruence

f{x)^ r (mod M),

en nombres entiers, si r désigne l'un quelconque des non^résidus. Par exemple, pour M = 5, les restes de

f{x) = x^ — Sx-{-(j