CHAPITRE IV. — CLASSIFICATION DES NOMBRES ENTIERS

forment la suite périodique

par suite, 'f{x) ne peut devenir ^ o, ni ^ 2, pour le module 5 et, a fortiori j égal à 2 ou à 5 ; d'où il suit que les expressions

x^ — Sa? -4- 6 et ar' — Sa? -h 4,

ne peuvent s'annuler pour des valeurs entières de x^ ni lorsque l'on augmente les coefficients d\in multiple quelconque de 5.

Exemple I, — Le polynôme /{x) à coefficients entiers ne peut s'annuler pour une valeur entière de x, si/Co) et/(i) sont impairs. De même, si aucun des nombresy(o), /(i) et /( — i) n'est divisible par 3.

34. Preuves par congruences. — La preuve par 9 dans le système de numération décimale, pour les quatre opérations fondamentales de r Arithmétique*, repose sur les théorèmes que nous venons d'énoncer sur les congruences, en supposant M = 9. En effet, suivant le module M = 9, toutes les puissances de dix sont congrues à l'unité, puisque 10" — 1 , étant un nombre formé exclusivement des chiffres 9999 est divisible par 9. Par conséquent,

si a, 6, c, rf, . . . désignent respectivement les chiffres des unités, dizaines, centaines, . . . d'un nombre N écrit dans le système décimal, on a

N = a-\- 10 b -h io*c-f- ïo'rf-H...,

^ t, par suite

N = aH-6-4-c-hf/-+-... (modQ).

En d'autres termes, le reste de la division d'un nombre par 9 est égal au reste de la division par 9, de la somme de ses chiffres. De même, pour le module M = 1 1, on a successivement

10^ — I, io* = -Hi, io'= — I, ...;

^^y par suite,

N = a — 6 -h c — û^H-. . . (mod II).

Par conséquent, si l'on remplace, dans les quatre opérations fon- ^^inentales de l'Arithmétique, les nombres donnés par leurs restes Vivant le module 9 ou le module 1 1 , les nombres obtenus doivent E. L. — I. 4

5o LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

être congrus à ceux qu'on déduirait des résultais; sinon il y aurait erreur dans les calculs.

Plus généralement, si 6 désigne la base d'un système de numération, on a vu que tout nombre positif N peut être mis, -d'une seule manière, sous la forme

N = a-H66-Hce«-hé/e3

les nombres a, f>, c, rf, . . . étant positifs ou nuls et plus petits que 0. D'ailleurs, si l'on désigne par x le quotient approché par défaut de N par 0, à une unité près, le chiffre a des unités est le reste minimum, non négatif, de N suivant le module 0, et l'on a

et ainsi de suite. D'ailleurs (6" — i), nombre formé exclusivemenl par les chiffres (6 — i) , est un multiple de (6 — i ) ; on a donc

N = a4-^-hCH-rf-+-... (modo — i).

De même, pour le module (6 -H 0> ^" ^

e = — I (mod è"iPTj ;

en élevant à la puissance d'exposant n,

ô«s(— i)« (mod 6-hi) ; et, par suite,

N = a — b-hc — d-h,,, (modO-hi).

Par conséquent, dans un système de base quelconque 6, on peut faire les preuves des opérations par congruences suivant les modules (6— i)et(6-f- i).

Ces considérations s'appliquent encore aux systèmes de numération dans lesquels on considère des chiffres à caractéristique négative. Ainsi tout nombre positif N peut être mis sous la forme

N = a -+- 66 -^ ce» -+- rfe» -t-. . .-H /e« ;

les nombres a, 6, c, rf, . . . sont des entiers nuls, positifs ou négatifs, dont la valeur absolue ne surpasse pas la moitié de 6, / seul étant nécessairement positif. La représentation de N est encore unique, à la condition de supposer pour 0 pair que le nombre égal à db^6 soit toujours pris avec le signe -}-.