CHAPITRE IV. — CLASSIFICATION DES NOMBRES ENTIERS. 5l

Si Ton groupe les chiffres d'un nombre quelconque par tranches de deux, trois, quatre, . . . , n chiffres, à partir des unités du premier ordre, on peut considérer ces tranches comme des chiffres et supposer le nombre N écrit dans un système de numération qui aurait pour base Tun des nombres 0^, 6*, 6*, . . ., 6". De là des règles de divisibilité et des preuves par congruences pour les modules

(e«— i)et(6''-hi).

Ainsi, par exemple, lo^H- i = 7.1 i.i3; par conséquent, on en déduit des règles de divisibilité et des preuves par "j, 1 1 ou i3, en considérant les nombres écrits dans le système décimal, par tranches de trois chiffres.

Exemple 1. — Démontrer que a"-f-i est divisible par 641 (Euler). On a, pour le module 6.|i,

On démontre de même que

•2*' -4- I est divisible par 274 177,

Ce dernier exemple prouve que le calcul par congruences est parfois indispensable, attendu qu'il est impossible d'écrire le nombre 2<"+ 1, qui a plus de 20 milliards de chiffres; la bande de papier qui le contiendrait ferait le tour delà Terre. D'ailleurs, on ne connaît pas d'autre démonstration de ce curieux résultat, dû à M. Seelhoff, de Brème.

Exemple II. — Le produit de nombres de la forme linéaire Ma? -4- i est un nombre de la même forme.

Le produit de nombres de la forme 4^ -H 3 est de la forme 4^+1 si le nombre des facteurs est pair, et de la forme 4^ -H 3 si le nombre des facteurs est impair.

De même, pour les nombres de la forme M:r — i.

Exemple III, — Le cube d'un nombre entier est congru à o ou à d=i, suivant le module 9.

Si un nombre n'est pas un cube parfait, tout nombre formé en permutant les chiffres du premier d'une manière quelconque, et en intercalant des o et des 9, n'est pas un cube parfait.