CHAPITRE V. — LES NOMBRES FIGURÉS

somme revient, au fond, à celui qui donne l'aire d'un trapèze comme moitié de celle d'un parallélogramme.

Exemple II. — L'octuple d'un triangulaire, augmenté de l'unité, est un carré. — Ce théorème de Diophante peut se démontrer géométriquement. En d'autres termes, on a

8—^ ■ -M = (a/i-hi)«.

Tout carré impair diminué de i est l'octuple d'un triangulaire.

Exemple II L — Aucun triangulaire n'est terminé parles chiffres a, 4 ? 9j 7»

Car l'octuple plus un serait terminé par 3 ou par 7, ce qui ne peut être le dernier chiffre d'un carré.

Exemple IV. — Le produit de quatre nombres en progression arithmétique, augmenté du bicarré de la raison, est un carré. — En effet

a(a -h r)(a 4- 9.r)(a-4- 3^)-^ r^= (a'-h 3ar-i- r*)*.

Exemple V. — Le produit de quatre entiers consécutifs n'est jamais un carré. — En effet, la différence des carrés de deux entiers consécutifs est au moins égale à 3, et ne peut être égale à r* = i, d'après l'exemple précédent.

Exemple VI. — Tout multiple d'un carré impair est la différence de deux triangulaires. — En effet, on a Tidenlilé

, ,^ (lax -{- x-^ a)(iax-\- X -\-a -\-i) a(ir-^ 0* = — '

{•>.ax — X -\- a — i) (ia X — X -\- a)

36. Les nombres polygonaux. — Considérons les progressions arithmétiques commençant à i et ayant respectivement pour raisons les nombres i, 2, 3, 4?