I» 3, 5, 7, 9, II

La somme des n premiers termes de ces progressions représente les nombres triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, de rang n. En général, le /i'*'"* polygonal PJ de q côtés est égal à la somme des n premiers termes de la progression arithmétique commençant à i , et de raison [q — 2). On a donc

Si Ton considère des polygones réguliers, homo thé tiques par

%î LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS-

rapport à Inn dos sommets, et conlenani 2, 3. 4 ^ pions à

i'*ji*ile ilistance sur les cotés, on obtient une représentation géoméiritpie ilii nomlin^ poivszonal |>ar l'ensemble des pions.

On (lémontrt^ facilement par le calcul, ou par une configuration j;r*»métn«pio, le> lliéonmes sui\ants :

I. Tout pohgonal e>t éi:al au nombre qui indique son rang, «iuf;uicnté «rautant de fois le triani^ulaire de rang précédent qu'il \ a irunitrs ilans son ciNté diminué de deux.

II. Tout poU^oual est é^al au triangulaire de même rang augmenté d\iutanl de fois le triangulaire précédent qu'il y a d'unités ilauH M>u oAté diminué de triais. ,

1 1 e \ i > t e une srr^ > n t /c* c \</><\ v r/e n om bres poh 'gonaux de forme plu!« réfiulit^re. 0\\ joint le centre d'un polvgone régulier à tous les M»uuuelN et r**n con>idèrt* tous les jHilvgones homothétiques par rapport au ceutiv; pui> on place des pions à égale distance sur les lAlê^ 1*1 a\i cenlrt\ de telle sorte que le premier polygone de ç lAléH M' compONC d*un pion au centre, le second de (iH-y) pions, \v irtMNiruie *le \\ ■ ^j -*- »y pions, et ainsi de suite. Ainsi le/i*"^ nombre /»o/i i:%>nitl «) %\'nirr i^*' de tf côlé> a pour expression

t>i \ ,/ j^— ... — «n — i^Çf %'v^\ à dire

Si Ton ctm>idoiv un poK^oual .1 centre de :>^ cotés, et si Ton Mipprime tou> le> piou^ xJtues dun coté d'un même diamètre, on >oil facilement que Ton |hmU former a\ec les pions restants un p\d\^ouul de pivmièiv e>ptce. de même rang et avant (74-2) ciNicn. .Vin>i, Ton a la fonuulo

l,ex tAiMviccN Nui>aut> m' rapp^Mlent au\ poK^onaux de première

/\:i-":;-.V /. l »* ii.j-lv- vîx' Ivvti po'iU;:^ •.•..i' t>t i;n ni»mbre triangulaire

/■..•v»î:-.V // -- lo j»i.^vi'.:il jvk- »i o, ;:u «ouibrf j-out.^c^^nal étant auguuMitt' *i^* i \toî>ni' i:m .'a:;o xk^î^î îr .-.'u- v-^î îo soviupK* moin> un du rang

/'::":: .':' ///. \.:. ■,:•.» iu^:*.*.l •. .- i v -.-t^j:, l'.ji: ::o }K'Ut ètrelorminê par l'un \îo< vh:iïiv> >. 4. S. 0,