CHAPITRE V. — LES NOMBRES FIGURÉS
Exemple IV, — Tout nombre hexagonal est un triangulaire de côté impair, et réciproquement.
Exemple V. — Aucun nombre hexagonal ne peut être terminé par l'un des chiffres a, 4> 7» 9»
Exemple VI, — Le nonuple plus un d'un triangulaire est un triangulaire dont le côté est le triple plus un du côté du premier.
Exemple VII, — Le triple plus un d'un octogonal est un carré dont le côté est le triple moins un du côté de l'octogonal.
Exemple VIII, — Le double plus un d'un décagonal est un triangulaire dont le rang est le quadruple moins deux de celui du décagonal.
Exemple IX. — Aucun décagonal ne peut être terminé par l'un des chiffres 3, 4» 8, 9.
Exemple X, — Construire le tableau des dix premiers nombres polygonaux avant dix côtés au plus.
Exemple XI. — Étant donné un nombre, trouver de combien de manières il peut être polygonal (Fermât).— II suffit de diviser le nombre donné par les triangulaires successifs, en ne conservant que les divisions dans lesquelles le reste est égal au triangulaire de rang précédent.
Exemple XII. — Trouver un nombre qui soit polygonal autant de fois qu'on voudra (Fermât). — Le problème se ramène à la détermination-d'un nombre qui, divisé par des nombres donnés, donne des restes donnés. La solution complète de ce problème rentre dans la théorie des congruencc** du premier degré qui sera exposée plus loin.
Pour plus de détails ^ voir notre article intitule : V Arithmétique en boules (n° 696 de Aa Nature),
37. Sommation des factorielles. — On appelle factorielle le produit de facteurs en progression arithmétique. Les factorielles consécutives donnent lieu à des formules importantes concernant les sommes
2, = rt ->r h -4- ... -4- A: H- /, Sj = a6 -\- bc -+-... -t- hk ->r kl y y^i = abc -r- bcd -+-... -h ghk ■+- hkl.
Posons, pour abréger, [a — /•) = a et (/-|-/*) = X; on a les
égalités
ab — aa = o.r.a^
bc — ab =^ 'ir.bj cd — bc = ir,c,
Il —kl = xr.l]
en ajoutant et en simplifiant, on trouve
/À — aa = ar.Si.
En partant des égalités
abc — 9.ab = 3r.a6, abcd — 7.abc = ir.abcy abcde — oiabcd = 5 r. abcd,
on trouve, de même, la série des formules
?r.li— /). — aor,
3r.2ilj= AD. — aab, 4r.Sj= hAlX — %abc, >r.S4= ghkl\ — aabcd.
Exemple I. — Démontrer les formules
1.3-1-3.5-+- ... -r- {2 n — i) {in -r- i) — J/i(4/i'-h6Ai— i),
I.3.3h- ... -r-(2Al— 1)^2 /l-+-l)(2/l-l-3) = /l(2/l'H-8/l* -+-711 — a).
38. Les nombres figurés. — Pour la progression des nombres entiers commençant à Tunilé, on a a = o et /•=i. En supposant que la progression contienne successivement />, (/> -H i), (/> -f- 2), ... termes, on a
On vérifie immédiatement a posteriori la formule qui résume les précédentes
en montrant que, si la formule est exacte pour les premières valeurs de Pj elle a lieu encore pour la valeur suivante.
