LES NOMBRES FIGURES

En effet, q restant fixe, la formule a lieu pour p z=:i ; mais, lorsqu'on remplace/? par (^ + i), le second membre augmente de

(p-\-l)(p-\-2)...(p-hq'-\)

c'est précisément, après simplification, l'accroissement du premier membre.

Nous avons vu que le nombre triangulaire de rang p est égal à la somme des p premiers entiers. Autrefois, on désignait encore les nombres triangulaires sous l'appellation de nombres Jigurés du second ordre ^ ou à deux dimensions. En général, on appelle nombre figuré FJ d^ordre q (ou à q dimensions) le nombre égal à la somme des/) premiers nombres figurés d'ordre ( </ — i) ; on a donc, par définition.

et, par suite,

f;/ = F'/-» -r- F?-» -T- Fï"» -f. . .-h F/r»,

Si l'on construit, par additions successives, le Tableau des nombres figurés naturels, triangulaires, pyramidaux, . . . , on obtient (/y^^. 27):

Fig. 27.

Table des nombres figurés.

D'ailleurs, la formule (1) donne, pour le calcul direct,

Si l'on baisse d'une ligne la colonne des entiers F*, de deux

lijijncs celle dos triangulaires K*, de trois lignes celle des pyramidaux F^, et ainsi de suite, le Tableau des nombres figurés devient le triangle arilhinéli(|ue de Pascal, et Ton a

Les résultats qui précèdent ont été trou\c> par Fersi.vt. en iC36, d'aprèf la mclliocle induclivc. Il s'exprime ainsi clans ses Notes sur Diophante* à la suite <le la Proposition IX du Livre des Poïj-gones : « Propositionem pulclierrimam et mirahilein quani nos inveninius hoc in loco sine demonstratione opponenius. In pro<;ressione naturali qua' ab unitaie sumit exordium quilihet numerus in proxinie majorent facit duplum sui trian- ;;uli, in trian<{:ulum proxime niajoris facit triplum sua; pyramidis, in pyramidem proxime majoris facit quadruplum sui Iriangulotrianguli, et sic uniforniiet ^onerali ininfinitum methodo. Necexistimo pulchrius aut gène* ralius in numcris posse dari tlicorema cujus demonstrationem margini insererc nec curai nec \acat. »

rostcrieurcmenl, Fkrhit écrit à Pascil le 29 août i654 *. « Nos coups fourrés continuent toujours, et je suis aussi hien que vous dans Tadmiralion de quoi nos pensées s'ajustent si exactement, qu'il me semble qu^elles aient pris une même route et fait un même chemin : Vos derniers Traites du Trianfrle nrithmètùjue et de son appïication en sont une preuve authentique: et, si mon calcul ne me trompe, votre onzième conséquence courait la poste de Paris à Toulouse, pendant que ma proposition des nomhres figurés, qui, en effet, est la même, allait de Toulouse à Paris. Je n'ai garde de faillir, tandis que je rencontrerai de cette sorte, et je suis persuadé que le vrai moyen pour l'empêcher de faillir est celui de con- <*ourir avec\ous: mais, si j'en disais davantage, la chose tiendrait du compliment, et nous avons promis de bannir cet ennemi des conversations douces et aisées. »

Voir le Traité des ordres numériques de Pasktal.

39. Piles d'obus et piles de boulets. — La pile d'obus est prismatique et se compose de /) tranches triangulaires. Le nombre des obus qu'elle contient est le produit par p du triangulaire correspondant.

La pile de hou/ets à hase trian*j[iilaire , avant /* boulets au coté, contient un nonibn^ do boulets T,, égal à la s»>mme des /? premiers nombres triangulaires; c'est le nombre pyramidal de rang /i,

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