CHAPITRE V. — LES NOMBRES FIGURÉS. 6l

40. Binôme de Nei^on. — La théorie des nombres figurés conduit au triangle arithmétique de Pascal et à la formule appelée binôme de Newton.

Si Ton multiplie le poljnôme

¥ =z a-k- bx -^ cj7*-i-. . .-^ kx'^-^-\- Ix'^

par (i -H x), et si Ton n'écrit que les coefficients de F et ceux du produit P, on trouve

pour F a, 6, c, ..., X*, /;

pour P Uy a -\- b, b -{- c^ ..., h-hk A: -h /, /,

comme dans la multiplication d'un nombre par 1 1 (n" 18, Ex. 7);' par conséquent, ces coefficients se calculent comme dans un Tableau de sommes (n*^ 5).

En particulier, les coefficients des puissances successives de (i -h- x) produisent le triangle arithmétique de Pascal. On a donc le développement

{i-+-x)P= 1-+- Cj,j7-hGJj7«-f-.. . T-Clxi-h.,.-hC^xP;

d'ailleurs, si l'on remplace dans la formule (4) du n" 38 le nombre p par (p — gr -f- 1) , il vient, en tenant compte de la formule (3) qui donne l'expression générale des nombres figurés,

py py />(/> — !)...(/? — y -Hi)

On a donc le développement

P p(p — 0 • p(p — \)..,ip — a-f-r)

On peut vérifier a /?05^e//orn' exactitude de ce développement, en faisant voir que, si cette formule est une identité pour une valeur entière et positive de l'exposant/?, elle a lieu encore pour l'exposant (/> H- i).

En remplaçant x par (bla) el en multipliant les deux membres par a'', on a la formule

(«4-6)/»= aP-h ^aP'^b-^- ^ ^ "~ ' qP-«6«-H.. .4- 6p.

6l LITIE I. — LES XOMBIC? C?KTICB5.

41 . Propriétés des coefliriimts do déreloppemoit de • i ~ jr ip. —

Le> Ci>efficient5 de ce développement, que nous désirerons souvent. j»<*ur abréger, pjir i . />i . /*• />^- s*3nl en nombre - p — i).

On a d'ailleurs

Les coefficients î ésale distance des extrêmes sont égaux : ils vont en cn:>issant jusqu'au milieu du développement.

La s^~>mme des coetlicients est enraie à a^ et la somme alternée est nulle, ainsi qu'on le \oit en remplaçant x par — i et par — i.

On en de^Juit les sommes drs Ci^tlîcienls de deux en deux.

I— /••—/•. — fi — . .= 1*^=.

Les coet'ficients étant entiers. C^ est entier, quelles que soient les valeur* des nombres entiers p.-sîtifs /> et •/: par conséquent^ le produit d* q nombrts ^ntUrs L^-ns^cuti/s esi dii'isii'le par le pr 'Induit 'i^s q pren\i':rs nombres entiers. D"aiUeur> CJ est nui pour •/>/'.

£".pf«r.> / — Pr-sJiiî: dff <:^jf::iemSs c/a è-ÎM-Sme. — Ea partant de l"*i.f»r«*>:-Q

:i \r:z^* :V:iIrîai*ai. pocr i^ pr.vîttit d<r* i>>«iSvieBt5 dv développeaient de : — j- '. li vileir

Ezf^.j '''.II. — 5:'r-^^ jr.vîr:- .if s 7 r'v^iV"/ ^s^jK^îexts. — En se

- •"' •": .' ' . /■■"'= I rC'' .

^ . .... ^ r — ja — i> ,^