CHAPITRE VI

L'ANALYSE COMBINATOIHE.

42. Permutations. — Ce sont les manières de disposer n objets différents en ligne droite et, plus particulièrement, les manières diverses d'écrire la somme ou le produit de n nombres inégaux deux à deux. En désignant le nombre de ces manières parP;,, on a

P„ = nP„i et P,| = I .'2.3. . . . /*.

En d'autres termes, le nombre des permutations de n objets différents est égal au produit des n premiers nombres. On désigne encore ce produit par n\ que l'on appelle /ac/or/e/Ze n.

Lorsque l'on remplace, dans une suite d'objets, chacun d'eux par le suivant, on fait une permutation circulaire. Le nombre des permutations de n objets différents, placés sur une circonférence, est égal à P/,«i ou {n — i) !

Formation du Tableau des permutations de n nombres dans l'ordre numérique, ou de n lettres dans l'ordre alphabétique. — Connaissant une permutation, trouver son rang dans le Tableau. — Inversement, écrire une permutation dont le rang est donné.

L'analyse combinatoirc a été imaginée par Fermât et Pascal pour obtenir la solution de problèmes sur le Calcul des probabilités. Dans son Traité duTriangle arithmétique, Pascal en donne deux applications; l'une est intitulée : Usage du triangle arithmétique pour les combinaisons, et l'autre: Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties.

Lorsque la permutation des lettres d'un mot, ou d'une phrase, forme un nouveau mot, ou une nouvelle phrase, la permutation prend le nom à'anagramme. Ainsi les mots logarithme et algorithme sont formés des mômes lettres dans un ordre différent. Pascal, dans les Pensées, s'est caché sous le pseudonyme de Salomon de Tultie, anagramme de Louis DE Momtalte, nom sous lequel il fit paraître les Lettres provinciales.

LITBC I. — LES 50MB1CS E5T1CBS.

Exemple /. — Calcaler le nombre de« p^nnatations de n objets poar toote« les Talears enticre« de n jusqu'à 25.

, . n on /i !

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