LES ÉCHIQUIERS ARITHMÉTIQUES

Nous avons montré, au Chapitre VI, l'emploi de l'échiquier, pour la solution de divers problèmes d'Arithmétique; nous donnerons encore, dans ce Chapitre et dans les suivants, quelques autres exemples qui permettent de simplifier et de généraliser les méthodes de solution de problèmes célèbres, dont la difficulté avait été signalée par Euler; nous citerons, en particulier, le problème des rencontres et celui de la décomposition d'un polygone en Iriangles, par des diagonales.

Tout échiquier arithmétique est un tableau, fini ou indéfini, de nombres placés dans les cases de carrés égaux et contigus : ces termes se déduisent les uns des autres d'après une loi de formation spéciale, linéaire, permanente dans toute l'étendue du tableau ; les conditions initiales peuvent être arbitraires; mais, en général, on suppose connus tous les termes d'une colonne verticale et ceux d'une demi-rangée horizontale ou diagonale. Ainsi, tout tableau de sommes et de dilTérences est un échiquier arithmétique; d'ailleurs on a immédiatement cette propriété fondamentale : Si plusieurs échiquiers ont la même loi de formation, il en est de même pour l'échiquier obtenu en superposant les échiquiers donnés, après avoir multiplié tous les termes d'un même échiquier, par un nombre quelconque, positif ou négatif.