XII PREFACE

Nous n'avons pas la prétention de comparer nos modestes découvertes à celles de tous ces savants immortels; mais c'est encore par l'observation de la suite de Fibonacci

dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent, que nous avons rencontré une proposition nouvelle qui constitue la réciproque du théorème de Fermât. Nous en avons déduit un grand nombre de corollaires qui permettent de savoir si un nombre donné ^ de vingt ou trente chiffres est premier ou non, lorsque l'on connaît la décomposition en facteurs premiers de l'un des nombres (/? ±: i) qui le comprennent. Par l'emploi de ce nouveau procédé, nous avons énoncé un grand nombre de théorèmes analogues à celui de Wilson et obtenu des nombres premiers de vingt et de trente chiffres, tandis que le plus grand nombre premier connu, il y a vingt ans, (2' * — i ) indiqué par Euler, n'en avait que dix. Ainsi, par exemple, on a la proposition suivante qui vient compléter le théorème de Gauss dans la théorie de la division de la circonférence : Pour que le nombre

soit premier y il faut et il suffit qu'il divise le nombre

3«'Vi.

La théorie des suites récurrentes est une mine inépuisable qui renferme toutes les propriétés des nombres; en calculant les termes successifs de telles suites, en décomposant ceux-ci en facteurs, en recherchant par l'expérimentation les lois de V apparition et de la reproduction des nombres premiers, on fera progresser d'une manière systématique l'étude des pro-

PREFACK. XIll

priétés des nombres et de leurs applications dans toutes les branches des Mathématiques.

Nous avons donc exposé l'ensemble des vérités fondamentales du Calcul et de l'Arithmétique, d'après le mode analytique, en laissant de côté toute préoccupation de programmes officiels. Puisque toutes nos opérations et tous nos raisonn(»ments ne portent que sur les nombres entiers, indépendamment de toute considération de continuité ou d'irrationnalité, nous faisons abstraction des nombres qui entrent dans les formules, pour ne voir que l'ordre de succession des opérations que l'on applique à ces nombres, d'une manière effective ou supposée. Nous rangeons ces opérations dans un ordre naturel, logique, tel que chacun des signes et des symboles d'opération nécessite la connaissance de tous ceux qui le précèdent.

Le signe -■>- de i^additlon et son symbole extensif, 2.

Le signe — de la soustraction et celui des différences successives, A.

Le signe x de la multiplication et de son symbole extensif, 0.

L'exposant des puissances, a^ et le symbole des factorielles, a"^''.

Le signe : de la division exacte et les symboles des opérations dans lesquelles on recherche le quotient approché, par excès ou par défaut, et le reste d'une division.

Le symbole de l'opération du plus grand commun diviseur et du développement d'un nombre rationnel en fraction continue.

Le symbole de la recherche des diviseurs d'un nombre. — Le symbole de la recherche des nombres inférieurs et premiers à un nombre donné.

Les symboles de Legexdre et de Jacobi dans la théorie des résidus quadratiques, etc., etc.

Après avoir ainsi classé ces opérations, nous les représentons par les lettres de l'alphabet, dans l'ordre ordinaire.

UT PftSrJICB.

Cela posé, considérons une formole ou un raisonnement quelconque; écrivons dans Tordre où ils se présentent les différents symboles des opérations fictives ou effectuées, nous formons ainsi un moi contenant une ou plusieurs des lettres symboliques, et d^ailleurs ces lettres peuvent entrer plusieurs fois dans le même mot. A chaque formule correspond un mot symbolique et inversement. En rangeant tous ces mots dans Tordre du dictionnaire, on obtient la succession logique des vérilés de l'Arithmétique. Il est évident d'ailleurs qu'une morne vérité peut occuper diverses places, suivant le mode do raisonnement que Ton emploie pour sa démonstration ; d'autre |xirt^ doux questions qui paraissent voisines d'après la nutuiv do leur énoncé |>euvent se trouver très éloignées dans lo dévolop|H*monl do noire ouvrage, lorsque les résultats conduisi'Ut à dos formules do nature différente. Ainsi, par oxoniplo, loi^quo Ton veut délerminer le nombre des dispqsilious difloivnlos d'objets placés sur un circuit fermé, on doit iHMisidoivr doux cas suivant que les objets sont tous distincts iui quo plusieurs d^ontre eux no le sont pas. Dans le premier eus, tui u uuo formule très simple (n** 42); il n'en est pas de mémo diuis lo stvond et la formule correspondante ne peut hHiuvor su pluoo quo dans lo 111^ Livre au Chapitre XXII (voir T UUtilh^n 17/% |K r>oi^. Il peut encore se présenter d'autres oiivouNl<uuvs oU par ovomplo, dans la théorie des /ac/oriV/A\\\ \^'osN\-\Uro dos piHuluils do nombres en progression anO\môhquo« ol dans oollo dos puissances^ c'est-à-dire des I^HMluiU do uonduvs éjruuv; oou\-cî reviennent à des factoriolloH d<ui)4 lOvMjUOÎlos s'aunulo la raison r de la progression anOuwôhquo. SouvouU lo cas général donne des formules |»hi^ >iM\q^loH, laudis quo lo cas parlioulier produit des for-