PREFACE. XV

mules illusoires. C'est pour ce motif que nous avons placé parfois le symbole de la factorielle avant celui de la puissance. En beaucoup d'endroits, nous avons employé dans nos raisonnements le mode de calcul sur l'écliiquier, à l'imitation de Pascal, dans son fameux Traité sur le triangle arithmétique. Pour montrer la supériorité de ce procédé général d'Arithmétique de position, nous avons donné, dans le Chapitre sur le Calcul des probabilités, les solutions si ingénieuses de M. Delannoy, au sujet du Scrutin de ballottage et de la Durée du Jeu, Cette méthode donne, quant à présent. Tunique solution d'une question difficile posée par Laplace, tandis que les résultats présentés récemment à V Académie des Sciences ont une forme illusoire.

Dans un but de simplification, nous nous servons de quel- (jues mots nouveaux : d'abord, ceux de codiviseurs et de comultiples y qui se comprennent d'eux-mêmes ; nous désignons l^div indicateur d'un entier n\c nombre des entiers inférieurs à /i et premiers avec lui ; nous désignons par le mot gaussien de a pour un module donné le plus petit exposant g de a pour lequel (a^ — i) est un multiple du module; enfin, avec M. Sylvester, nous appelons cumulant le résultat de l'opération du symbole généralisé d'EuLER, dans la théorie des fractions continues. — Nous avons employé, pour les raisonnements et les formules, les signes connus, en choisissant toujours ceux qui donnent aux formules la physionomie la plus simple et la plus claire ; nous avons adopté le signe ^= de la congruence, qui est indispensable dans les théories de TArithmétique supérieure; et d'ailleurs, il a été accepté depuis Gauss par tous ceux qui ont fait faire quelques progrès

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à la Théorie des nombres. De plus, dans notre méthode de calcul symbolique, nous avons employé le signe «die; on ne doit pas considérer ce symbole autrement que le signe = de l'égalité; mais nous avons pris cette forme spéciale pour indiquer au lecteur qu'il faut faire le développement des deux membres de la formule symbolique, avant d'écrire leur égalité, ou leur identité.

Tels sont les principaux points sur lesquels nous croyons devoir appeler l'attention. Nous savons bien que certaines des théories exposées paraîtront parfois trop longues et parfois trop concises; aussi nous regrettons de n'avoh' pu faire subir à cet ouvrage Tépreuve d'un enseignement public. Cependant nous espérons Taméliorer dans une édition ultérieure, et nous invitons tous nos lecteurs à vouloir bien nous soumettre les observations, corrections et additions, que son étude pourra leur suggérer.