CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. (jS

précède, on voit que pour AG le nombre des décompositions est Pj P„i; pour AD il est égal à P^ P/i-s, et ainsi de suite. En répétant la même opération pour tous les sommets, le nombre total des modes considérés sera

donc

/i(P3P,.,-+-P4P;,--, -+-... 4- P,.-,P,H-P„-iP3).

On obtient de cette manière toutes les décompositions possibles; mais on les trouve ainsi plusieurs fois. En efTet, chaque décomposition se fait au moyen de (n — a) triangles ayant (3/i — 6) côtés et dans lesquels les n côtés du polygone entrent chacun une seule fois ; donc (in — 6 ) côtés sont formés par les diagonales, et, comme chacune de celles-ci appartient à deux triangles, on voit que chaque mode emploie (n — 3) diagonales. Or toute décomposition doit é>'idemment se reproduire autant de fois que les (/i — 3) diagonales qui y entrent ont d'extrémités, c'est-à-dire (2/1 — 6) fois; on a donc

p Ai(P,P;,-i-^P,P;i-i-l-...-t-Pn-iPv-i-P/»-tP») "" 2/1 — 6

La comparaison des deux égalités précédentes donne

n par suite ,,, „ 2.6.10. . .(4/1 — 2) „ 1 .3.5. . . (9./1 — 1)

^ ^ > ^»"' = (ir^. ^ * (Tl-ITT)"! —

Ce problème célèbre a été posé par Euler à Srgner, qui a donné la formule (i) dans le tome Vil des Novi Commentarii; la formule (2) parait due à ËuLER. Cette question a été développée par Lamé, Catalan, Rodri- GUER et BiNET dans les tomes III et IV du Journal de Liouville, On a encore la formule

P/I4 1 — C^P,, -t- CJ| P/i i — . . . = o.

Exemple V, — Connaissant le nombre ti des triangles ne contenant qu'une seule diagonale, dans la décomposition d'un polygone de /i côtés en (n — 2) triangles par (n — 3) diagonales, trouver les nombres t^ et t^ des triangles contenant deux et trois diagonales.

On a immédiatement

ti-\- ti-\- 1^= n — 2,

2ti-\- t^= n; d'où l'on tire

tt= n — 2/1,

Ainsi /} est au moins égal à 2. On peut former un tableau à double

entrée contenant les nombres des décompositions de P„, en prenant pour coordonnées ai et /i; on obtiendra ainsi de nouvelles formules.

Exemple VL — Le nombre des manières de décomposer un polygone de (p — 2)q -^ 2 côtés, en q polygones âe p côtés, est

(^-q)(pq-q-t)...(pq-^q + :^\ ^ j, „ ^^^.^^^