LES RÉSEAUX

58. Les réseaux. — Un réseau géométrique est le système formé par des points A, B, C, . . . , disposés d'une manière quelconque dans l'espace, et reliés entre eux par une ou plusieurs lignes, droites ou courbes, que l'on appelle chemins. Les points A, B, Cjj .... sont appelés carre/ours. Un carrefour est dit pair ou impair, suivant que le nombre des chemins qui y aboutissent est pair ou impair. Un réseau est continu quand un mobile placé sur l'un des chemins, ou sur l'un des carrefours, peut se rendre à un autre point quelconque sans quitter les chemins. Dans son Mémoire sur le Problème des ponts de Kônigsberg (*), Euler a indiqué deux théorèmes qui se rapportent à ce sujet. Nous donnerons d'abord l'énoncé et une démonstration très simple du premier d'entre eux.

Lorsqu un réseau renferme des carrefours impairs, ceux-ci sont en nombre pair, — En effet, si l'on fait le compte de tous les chemins qui aboutissent à chacun des carrefours, la somme de tous les nombres obtenus est un nombre pair, puisque chaque chemin a été compté deux fois. Cette somme étant un nombre pair, il faut nécessairement que, parmi les nombres entiers qui Tont fournie, ceux qui sont impairs soient en nombre pair.

Exemple 1. — Calculer le nombre des sauts du cavalier des échecs sur un échiquier rectangulaire formé de p lignes et de q colonnes.

On peut passer de l'une des (q — i) premières colonnes à la colonne sui-

(*) Euler, Solutio problematis ad Geometriam situs pertinentis, dans les Mémoires de r\cadémie des Sciences de Berlin, pour 1759. Pour plus de détails, voir nos liécrcations mathématiques^ t. I, au Chapitre intitulé : Le jeu des ponts et des lies, et une Note de M. Em. Lemoixe sur Quelques questions de Géométrie de position (Congrès d'Alger).