COAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION

vante par (/> — 2) sauts descendants et par le même nombre de sauts as> cendants ; on a donc

sauts, et un nombre égal en chevauchant de la droite vers la gauche.

De même, en passant à la ligne précédente ou à la suivante, il y a un nombre de sauts égal au double de

Donc le nombre des sauts du cavalier sur l'échiquier rectangulaire de pq caseSy en comptant l'aller et le retour, est égal au double de

(7/> — 3)(2gr— 3) — I.

Plus généralement, si le saut du cavalier se compose de r pas dans un sens et de s pas dans Tautre, en supposant r et 5 respectivement plus petits ' que/> et q^ le nombre des sauts du cavalier, en comptant l'aller et le retour, est le double de Texpression

{7.p — r — s)i'iq — r — s) — {r ~ s)*\

cependant, on doit diviser ce nombre par 2, lorsque l'un des nombres r, s ou (r — s) est nul.

On calcule le nombre des pas du roi en considérant celui-ci comme Fensemble de deu\ cavaliers dont l'un des pas est 1 et l'autre o ou i. On trouve ainsi le double de

^pq — 3/9 — Zq -T-JL.

Sur l'échiquier de/>' cases, la tour peut être considérée comme l'ensemble de cavaliers dont l'un des pas est nul, et dont l'autre est l'un quelconque des entiers plus petits que p. On trouve ainsi que le nombre des déplacements de la tour sur l'échiquier de p^ cases est le double de

Sur l'échiquier de p^ cases, le système des deux fous peut être considéré comme l'ensemble de cavaliers dont les pas égaux sont tous les nombres entiers plus petits que p. On trouve ainsi que le nombre des déplacements des deux fous sur l'échiquier de p^ cases est le double de

Enfin, la reine peut être considérée, dans son mouvement, comme Tensemble d'une tour et des deux fous; par suite, le nombre de ses déplacements est le double de

Exemple IL — Le nombre des manières de placer deux reines sur l'échiquier de p^ cases, de telle sorte qu'elles ne soient pas en prise, c'està-dire qu'elles ne soient pas situées sur une même ligne parallèle aux bords ou aux diagonales de l'échiquier est

En effet, ce nombre est égal à l'excès du nombre des combinaisons des p^ cases, prises deux à deux, sur la moitié du nombre des déplacements possibles de la reine, ou

Le même calcul s'applique à d'autres pièces de l'échiquier, et Ton trouve pour deux rois

et pour deux cavaliers

Exemple III , — Le problème des tours au Jeu des échecs, — Soit un échiquier rectangulaire de dimensions y> et ejr; le problème des r tours consiste à placer r tours sur les pq cases de l'échiquier, mais de telle sorte que deux quelconques d'entre elles ne soient pas situées sur une même ligne ou sur une même colonne. Désignons par E;. et E^-i le nombre des solutions du problème des r tours et des (r — i) tours sur cet échiquier ; on a d'abord Ei=/)gr, et, en supposant q<:P^ on voit que E^ est nul pour r > ^. Si l'on supprime l'une des r tours d'une solution E;., on obtient une solution Er-i ; mais, inversement, si l'on part d'une solution E;.i, on peut placer la r**"** tour sur l'une des

cases libres; on a donc la formule

(i) rEr^(p — r-\-\){q-r'^\)Er-i\

par suite, le nombre E;. est égal à l'une des quatre expressions équivalentes

(2) h^p^'i^ ^J^?' ^5^?' /'îcjcj,

dans lesquelles les lettres A et C désignent respectivement des arrangements et des combinaisons simples.

Supposons qu'on ait groupé les cases de l'échiquier en deux portions absolument quelconques, continues ou discontinues, et que l'on connaisse