CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION
les solutions du problème des r tours sur Tun des échiquiers partiels, pour toutes les valeurs de r = o à r = 9; nous allons montrer comment on peut obtenir les solutions des r tours sur Tautre échiquier partiel. Les solutions du problème des r tours sur Téchiquier depq cases peuvent être distribuées en (r-h i) classes, de telle sorte que la classe de rang («-f-i) renferme les solutions contenant (r — s) tours sur le premier échiquier partiel et s tours sur le second. Nous désignerons par T^ le nombre des solutions de cette classe; on a donc
Partons d'une solution de la classe s; il y aura (p — r) colonnes et (q — r) lignes formant (p — r){q — r) cases libres sur Tune desquelles on pourra poser une nouvelle tour; on obtiendra ainsi
(p - r)(q - r)Tj.-*
positions qui appartiendront aux solutions du problème des (r + 1) tours sur réchiquier de pq cases, et respectivement à la classe de rang s ou de rang (5 + 1), selon que la tour aura été ajoutée sur le premier échiquier partiel ou sur le second. Mais, inversement, en partant d'une solution du problème des (r -+- i) tours sur l'échiquier complet, on voit, par la suppression de l'une quelconque d'entre elles, que les solutions de la classe s ont été comptées (r — s -^ 2) fois chacune, et que celles de la classe {s ■+• i) ont été comptées s fois; on a donc
(4) (/>-r)(gr-r)Tî.-î = (r-5-4-2)T;7}-+-5Tj^.,.
Les formules (3) et (4) permettent de résoudre le problème des (r-f-i) tours sur le second échiquier partiel, lorsque le problème des r tours est connu sur chacun d'eux, c'est-à-dire lorsque l'on connaît les nombres
To To To pt Ti T* T'*
Soit, par exemple, Téchiquicr carré de seize cases divisé en deux fragments; le premier échiquier partiel est formé des cases du coin, repré-
Fig. 4t.
Echiquier de 16 cases.
sentées par des points (Jl^^» 40 î '^ second est représenté par des croix. On a, pour le premier échiquier partiel,
Tî = 4, Tî = a, To = o, T2=o;
lOO . LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.
la formule (4) devient si l'on fait successivement
s — iy'i,
on trouve
T} = i2, T} = 32. TJ = 8, T} = o,
Ti=38, T| = 56, T{ = 4, Tî = 32, T{=i6,
Tt = 4.
Considérons maintenant Téchiquier carré de 36 cases : le premier échi-
Fig. 42.
Échiquier de 36 cases.
quier partiel représenté par dos croix est le second échiquier de la figureprécédente; on a donc
T?=i2, Tî = 38, TS=32, T2 = 4.
La formule de récurrence devient
( 6 - r)îT;r» = (r - 5 -+. 9/)TJ;} -T- ^T-;.^,,
el, si l'on fait successivement
on trouve
T| = 24, Tl = 224,
TJ-5I2, Tl-272,
TJ=i6,
Tl = o,
Ti-5i2,
Tî=8,
T? - 576, TJ = 2376,
