GHAPITBE VII. — LA GEOMETRIE DE SITUATION

Considérons encore Téchiquier rectangulaire de 56 cases; le premier échiquier partiel contenant les points est équivalent au second échiquier partiel de la figure précédente ; on a donc

Tî = a4, TJ = i88, TJ=576, T2 = 652, Tî = ao8, TS = 8, TÇ = o.

Fig.

Échiquier de 56 cases.

On formera le Tableau (Jig. 43)

i3io4

Il 52

Exemple IV, — Le problème des fous au Jeu des échecs. — Il s'agit de placer des fous sur les 64 cases de l'échiquier, de telle sorte que deux quelconques d'entre eux ne soient pas en prise, c'est-à-dire ne soient pas situés sur l'une ou l'autre des diagonales ou sur leurs parallèles. Il est évident que les ceiUres des cases blanches de l'échiquier peuvent être considérés comme places sur les croix de la figure précédente, et la marche du fou devient celle de la tour. Donc, d'après le dernier calcul, on peut placer sur les cases blanches de l'échiquier

fous et les nombres des solutions correspondantes sont

Nous désignerons respectivement ces nombres par/n en prenant pour r Tune des valeurs de i à 7; d'ailleurs /^ est nul pour r > 7.

Sur les cases blanches et noires de Téchiquier, on pourra placer jusqu a i4 fouSf et si n désigne l'un des nombres entiers de i à i4t le nombre F„ de manières de placer n fous sur les 64 cases de l'échiquier est donné par

Pour Al = 8, on trouve 22522960 solutions. (Perott, Bulletin de la Soc. mcith., t. XI.)

Exemple V, — Le problème des reines. — Ce problème est traité complètement jusqu'aux échiquiers de 11 cases de côté, dans nos Récréations mathématiques (t. I, 2* édition).

59. Le tracé des réseaux. — Dans le Mémoire que nous avons cité plus haut, Euler a encore démontré la proposition suivante : Tout réseau continu qui ne contient que des carrefours pairs peut être décrit d^un seul trait formant un circuit fermé , sans omission ni répétition, quel que soit le point de départ qui coïncide avec le point d^ arrivée.

Nous démontrerons ce théorème en même temps que le suivant, énoncé par Clausen dans le n° 494 des Astronomische Nachrich" ten : Tout réseau continu ayant 2 n points impairs peut être décrit en n traits continus, sans omission ni répétition, et non en un moindre nombre.

En effet, si l'on part d'un point impair A et si Ton chemine au hasard, sans repasser sur la même voie, on sera forcé de s'arrêter à un certain endroit. En observant que, dans cette marche, on ne change point la parité des carrefours que Ton traverse, on en conclut que le point d'arrêt est un point impair B. En supprimant le parcours AB, on obtient un réseau qui ne contient plus que (2/1 — 2) carrefours impairs. Après n parcours analogues, il ne peut donc rester qu'un ou plusieurs réseaux restreints dont les carrefours sont tous pairs.

Maintenant, si l'on part d'un point quelconque M d'un réseau restreint et si l'on chemine au hasard, sur de nouveaux chemins, on ne se trouvera arrêté qu'en revenant au point de départ après avoir décrit un circuit fermé. Lorsque l'on aura tracé un certain nombre de ces boucles, on aura parcouru tout le réseau; mais, puisque celui-ci est continu, ces boucles peuvent se souder les unes sur les autres et sur les n chemins qui ont été décrits primitivement. Par suite, le réseau peut être décrit en n traits continus, et ne peut l'être en un moindre nombre. c. q. f. d.