CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION

On a encore le curieux théorème suivant dû à Trémaux, ancien élève de TLcole Pol)' technique : Tout réseau continu peut être décrit d'un seul trait, en passant deux fois sur tous les chemins, sans quHlsoit nécessaire de connaître le plan du réseau.

Pour obtenir la solution de celte question qui démontre qu'un labyrinthe n'est jamais inextricable, on applique les trois règles suivantes, en ayant le soin de tracer sur chaque chemin parcouru un petit trait transversal à l'entrée et à la sortie des carrefours.

i® En pariant d'un carrefour initial quelconque, on suit une voie quelconque jusqu'à ce que l'on arrive à un chemin fermé ou à un nouveau carrefour. Si le chemin qu'on a suivi se trouve fermé, on revient sur ses pas et l'on peut alors considérer ce chemin comme supprimé, puisqu'il a été parcouru deux fois. Si le chemin aboutit à un carrefour, on prend une voie quelconque, au hasard, en ayant soin de marquer d'un trait transversal la voie d'arrivée et la voie de départ. On continue l'application de cette première règle, chaque fois que l'on arrive à un carrefour inexploré. Au bout d'un certain temps, on arrivera nécessairement à un carrefour déjà visité; mais cette situation peut se présenter de deux manières différentes, selon que le chemin d'arrivée a déjà été suivi une première fois, ou ne contient encore aucune trace de passage.

2® En arrivant à un carrefour déjà visité, par une voie nouvelle, on doit rétrograder en marquant par deux traits, sur cette voie, l'arrivée au carrefour et le départ.

3® Lorsque l'on arrive à un carrefour déjà exploré par une voie déjà parcourue, on prend, avant tout, une voie nouvelle s'il en existe ou, à son défaut, une voie qui n'aura été parcourue qu'une seule fois.

Nous laisserons de côté la démonstration de ce théorème, que l'on trouve dans nos Récréations mathématiques^ au Chapitre sur le Jeu des labyrintlies.

60. Nombre des tracés des réseaux. — Si l'on prend pour point de départ un point quelconque d'un réseau à carrefours pairs, on peut partir de ce point, dans deux sens différents, pour revenir au point initial. Par conséquent, le nombre des circuits complets est toujours un nombre pair, et le nombre des circuits est le même quel que soit le point de départ.

Considérons, par exemple, deux carrefours A et B réunis par 2/z chemins qui ne s'entrecroisent pas; le nombre des circuits distincts est égal à