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Si le point A était un point simple du réseau partiel, on ferait /? = 2. Si l'impasse était formée d'un seul chemin dont les extrémités viendraient aboutir au carrefour A, on ferait 1 = 2. Enfin, si q impasses indépendantes les unes des autres aboutissent au

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carrefour A et si Ton désigne parli, I2, ..., Iq les nombres de leurs circuits, on trouve, par la suppression successive des impasses, que le nombre des circuits du réseau total est

p(p -+- I). . .(/) -^ gr -- i) I, I,Ij. . . I^R.

Exemple I, — Le nombre des circuits formés par /* circonférences égales, tangentes deux à deux, dont les centres sont en ligne droite, est 2".

Exemple II, — Le nombre des circuits d'une rosace à n feuilles est égal à ^«(/i — i)!

Deuxième cas. — Supposons que les deux chemins a et 6 de rimpasse I aboutissent à deux carrefours A et B du réseau partiel R; alors ces carrefours sont impairs, ainsi que les premiers carrefours A' et B' de Timpasse, qui se trouvent sur les deux che-

Fig. 4G.

L'impasse à deux carrefours.

mins. Pour évaluer le nombre des circuits du réseau total, partons du point a de AA', dans un sens ou dans l'autre; il faut décrire l'impasse et le réseau partiel d'un seul trait, et dans un sens déterminé; par conséquent, le nombre total des circuits est

ou — ;

en d'autres termes, le nombre des circuits du réseau total est la moitié du produit des nombres de circuits de l'impasse et du réseau partiel. D'ailleurs, on observera que l'application de ce théorème est illusoire, si l'impasse I se réduit à une impasse simple.