CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. IO

Exemple III, — Les sommets A et B d'un rectangle ABGD sont réunis par (2/? — i) chemins; les sommets G et D par ( 2^ — i) chemins, les sommets A, D et les sommets B, G sont réunis par un seul chemin; calculer le nombre des circuits du réseau. — On trouve

62. Théorème des carrefours. — Pour évaluer le nombre des circuits d'un réseau à carrefours tous pairs, on commence par supprimer toutes les impasses qui peuvent exister. On ramène ensuite le réseau à un ou plusieurs autres contenant un carrefour en moins, et ainsi de suite, jusqu'à ce que les réseaux obtenus ne contiennent plus que deux carrefours. La suppression d'un carrefour se fait par l'emploi du théorème de M. G. Tarry (*) : Lorsque in chemins a^bjC^d^ , , .^ aboutissent à un carrefour, le nombre des circuits du réseau est égal à la somme des nombres des circuits des N réseaux obtenus en soudant deux par deux, de toutes les manières possibles, les n chemins a^ b^ c^ rf, ... ; et d^ ailleurs,

«T o - / ^ ('>.nV !N = 1 .3.J. . .(2/1 — i) = •

Dans l'application de ce théorème on doit faire les deux remarques suivantes : i° Si la suppression d'un carrefour amène la désagrégation du réseau, on recommence l'opération après avoir appliqué les théorèmes des impasses. 2° Les N réseaux partiels obtenus par la suppression d'un carrefour ne sont pas toujours distincts, car deux réseaux sont équivalents lorsqu'ils possèdent le même nombre de carrefours et que deux carrefours quelconques sont réunis par le même nombre de chemins.

Exemple I. — Le nombre des circuits de la figure formée par les côtés et les diagonales d'un pentagone régulier, sans fragmenter les diagonales, est 264. *

Exemple II, — Le nombre des circuits formés par les arêtes d'un octaèdre régulier est 74i.

Exemple III, — Le nombre des circuits de la figure formée par les côtés et les diagonales d'un heptagone régulier est 129976320, si l'on ne fragmente pas les diagonales. C'est, conformément à la règle, le nombre

(•) Bulletin de V Association française pour l'avancement des Sciences. Congrès de Nancy (i885).

lo8 LIVâE I. — LES NOMBâES BNTIEâS.

des dispositions circulaires des dés d'un jeu de dominos, jusqu'au double — six, sans les doubles. En intercalant les doubles, il faut multiplier 1^ nombre précédent par 3^, et, pour obtenir le nombre des dispositions rec — tilignes, il faut encore multiplier par le nombre 28 des dominos. (Reiss-ss Annali di Afatematica, 1876. — Tarrt, ioc, cit.)

Exemple IV. — Le nombre des circuits formés par les côtés cl les dia — gonales de Tennéagone régulier, sans fragmenter les diagonales, est

911 520 067 oai 235 200.

C'est le nombre des dispositions circulaires des dés d'un jeu de dominos, jusqu'au double-huit, sans les doubles. En intercalant les doubles, il faut multiplier le résultat précédent par 4*, et, pour obtenir le nombre des dispositions rectilignes, il faut encore multiplier par le nombre 4^ ^^^ «lominos.

Le nombre précédent a été calculé en moins de trente heures par M. G. Tarrt et aussi par M. l'abbé Jolivald. La méthode de Tarrt est d'autant plus remarquable que la solution du problème de Theptagone, donnée par Reiss, et qui était alors la seule connue, comporte à elle seule 5o pages in-4" de développements. Cependant, si Ion observe que les nombres de solutions sont, pour

le pentagone •>.' . î . 1 1 ,

l'heptagone -i". 3. 5. 4j*-3i ,

Tennéagone 2**. 3*. 5*. 7. 1 1 . 9911 -241»

il nous semble que, malgré son extrême élégance, la méthode de Tarrt n'est pas le dernier mot de la simplicité.

Exemple V. — Le nombre des circuits du réseau des n carrefours formés par les côtés et les diagonales d'un polygone régulier de (2n-f- 1) côtés est égal au nombre des tracés en n traits et en n sauts de la figure formée par les côtés et les diagonales d'un polygone régulier de 2n côtés.

Exemple VI. — Le nombre des circuits d'un système de n circonférences égales, tangentes entre elles, et dont les centres sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés, est égal au nombre des manières de Iracer deu\ fois, sans omission, le* côtés d'un polygone de n côtés.

\lw désignant ce nombre par R.,, la suppression d'un carrefo^ur donne la formule

Ri H„ , R2 .

— — , -H I, avec — - = 3,

par suite

R« ^ (Al -^1)2'».

Autrement (*)• — Si l'on observe qu'un cercle étant décrit dans son ( ') Voir notre article de la Nature^ iS85.