LES REGIONS

63. Les régions. — Un point placé sur une droite indéfinie dans les deux sens la divise en deux fragments ou semi-droites; deux points d'une droite la divisent en deux fragments indéfinis et un segment fini ; en général, n points d'une droite la divisent en (/i -f- i) fragments, dont deux sont indéfinis. Donc, si l'on désigne par S le nombre des points, par A le nombre des segments finis

110 LIVBE I. — LES NOMBKES ENTIBBS.

et indéfinis, para le nombre des segments finis et par x le nombre des segments indéfinis, on a

Une droite illimitée, tracée dans un plan, le divise en deux régions indéfinies, c'est-à-dire en deux parties telles qu'on ne peut aller d'un point de Tune à un point de l'autre sans rencontrer la droite, à la condition de ne pas sortir du plan. Des droites parallèles, en nombre />, divisent le plan en (/? -h i) régions indéfinies- Ces régions peuvent être garnies de deux couleurs, de telle sorte c[ue deux régions voisines soient de couleurs diflerentes.

Un système de droites concourantes et indéfinies divise le plan en un nombre de régions indéfinies égal au double du nombre des droites concourantes. Ces régions peuvent être recouvertes de deux couleurs, de telle sorte que, de part et d'autre de chaque ligne de séparation, les couleurs soient diflerentes. Mais ceci n^aurait pas lieu pour un nombre impair de semi-droites issues d'un point.

L'ensemble de p droites parallèles et d'une transversale divise le plan en a()0-|- i) régions illimitées. Deux systèmes formés de p droites parallèles, et de q droites parallèles, divisent le plan en (/?4- i) ((7+0 régions, parmi lesquelles i{p + q) sont illimitées. Comme l'échiquier, on peut encore les garnir de couleurs, de telle sorte que, de part et d'autre de chaque ligne de séparation, les couleurs soient diflerentes.

Si Ton prolonge les côtés d'un triangle, le plan est divisé par les trois droites en sept régions, dont six sont illimitées et une seule finie, qui est l'intérieur du triangle.

Si l'on prolonge les côtés d'un quadrilatère quelconque, concave ou convexe, on forme onze régions, dont huit sont illimitées.

Lorsque l'on considère un plus grand nombre de droites, il faut tenir compte en même temps des points de concours et des segments; nous prendrons les notations suivantes :

finis a

Nombre des segments [ indéfinis a

finis et indéfinis A

finies f

Nombre des régions j indéfinies o

finies et indéfinies F