CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION

On a d^abord, par définition

Cela posé, si l'on considère n droites d'un plan, non parallèles deux à deux, et telles que trois quelconques d'entre elles no soient pas concourantes, on a, en désignant par S le nombre des points d'intersection,

S-GJS,

A ^ ns, a - 2/1,

o r-= an.

En effet, supposons ces formules démontrées pour un système •le n droites, et calculons les accroissements des cinq quantités S, A, a, F, ^, lorsque l'on trace une nouvelle droite non parallèle à l'une quelconque des précédentes, et ne passant par aucun point

Fig. 19-

de concours. Nous supposerons d'abord que la droite XY a été tracée, de telle sorte que tous les points d'intersection des premières droites sont d'un même côté de XY. On observe : i® (|ue S augmente du nombre n des points situés surXY; 2® que a augmente des deux segments indéfinis de cette droite; 3" (jue A augmente de (2/14- i), c'est-à-dire des (/i 4- 1) segments finis et indéfinis de XY, et des n segments finis des droites qui aboutissent à XY; 4** que ç augmente des deux régions cpi et ©2 ; 5'* que F augmente de ces deux régions et en outre des {n — 1) régions finies situées au-dessous de XY. Ainsi les formules précédentes sont générales.

On voit encore que radjonclion de XY permet de recouvrir les régions situées au-dessus de XY de deux couleurs seulement, et toujours de telle sorte que deux régions adjacentes à un même segment soient garnies de couleurs diflerentes ; il suffit, en eflet. d^ajouter au-dessus de XY la couleur, qui est contraire à celle de la région du dessous. En outre, il est facile de voir que les résultats précédents subsistent lorsque la droite XY se déplace et traverse le point de concours de deux droites. Nous ferons d'ailleurs observer que ces résultats s'étendent à des figures tracées sur le plan, ou sur une surface simple indéfinie dans tous les sens (comme le paraboloïde h^-porbolique) , pour lesquelles les droites sont remplacées par des traits indéfinis dans les deux sens, tels que chaque trait ne se recourbe pas sur lui-même. Deux traits indéfinis, qui ne se rencontrent pas, seront considérés comme des droites parallèles; de plus, on suppose que deux traits indéfinis ne peuvent se rencontrer qu'en un seul point de concours, en se traversant mutuellement.

Nous allons étudier les modifications à apporter aux formules précédentes lorsque p droites viennent concourir en un même point, ou lorsque q droites deviennent parallèles.

I® Lorsque p droites viennent concourir en un même point, le nombre des points de concours diminue évidemment de (Cl — i), puis(|uc le nombre des points d'intersection de ces droites ne compte plus que pour i. Les nombres '^ et a des régions et des segments indéfinis ne changent pas; le nombre A des segments finis et indéfinis diminue de {p'^ — '^-P)^ ^^ ^^ nombre F des régions finies et indéfinies diminue de ( i — /; -h Cj,).

'À^ Lorsque <7 droites deviennent parallèles, le nombre des points de concours diminue de CJ; le nombre total F des régions diminue aussi de iA^ el le nombre Ados segments finis et indéfinis diminue de (q'-rj).

Par C(mséquent, si l'on désigne par t^ le nombre des droites de direction unique, par igle nombre des groupes de q droites parallèles, par S^ le nombre des groupes de/? droites concourantes, on a

et