CHAPITRE VII. — LA GEOMETRIE DE SITUATION. Il

Lorsque loiites les droites ont des directions différentes, on ci S = C* ; donc, en tenant compte des diminutions,

^. JCJ= St-+-3S3-t- ... -4-CîSp -h ...

( -h Tj H- 3 ÎT3 -H . . . H- CJ îlp -H . . .

. J A = a Sj -h 3 S3 -f- . . . -f- /> Sy, -!- . , .

( -+- tii -f- a Tj ~- . . . -T- /? îTp -h

On peut démontrer directement cette dernière formule en observant que, de chaque point de concours de p droites, parlent '^p segments et que, pour toute direction de q droites parallèles, il j a 2^ segments infinis, comptés deux fois.

Si l'on calcule F, on trouve la relation

(5) S-+-F=.Vh-i,

<[ue l'on peut vérifier a /^05/c/70//. Eniîn, si F^ est le nombre des régions à p frontières (ou arêtes), on a les deux formules

< <•)) F = F, H- Fj -i- F3 -+- . . . -h Fp -T- . . . .

(7) 2A = Fl -+- 2Fj -h . . . -f-/>Fy, — . . . .

Exemple 1. — Soient/? points tels que trois d'entre eux ne soient pas en ligne droite, et quatre d'entre eux sur deux droites parallèles ; les «Iroites qui les joignent se rencontrent en 3Cj^ nouveaux points ( n** 57, Exemple /).

Le nombre des segments finis sur chaque droite est (^G^-» h- 3) ; le nombre total des segments est

A = G«C«, -4-3CJ5.

On en tire, par la formule (5), le nombre total des régions

F = G»C2 j-h3CJ-t- i-;, — 3G;;.

c'est-à-dire

Autrement. — Le nombre des lignes de jonction est n — G/,; le n(»mbre des régions est

F = 1 4- /i H- Gj - /?[ I - (/? - 1) -4- g;., ],

parce que les droites se coupent au nombre de {p — i) en /> points. Après simplification, on retrouve le résultat précédent.

Il4 LIVBB I. — LES NOMBRES ENTIEBS.

Exemple II. — L'n système de n circonférences partage le plan en n{n'/- 1 ) 4- a réf^ion^, au plus, dont une seule est illimitée.

Exemple lit. — Si Ton trace dans le plan n systèmes de circonférences

concentriques contenant respectivement Ci, Cf, . . . , c^ circonférences, et

si Ion pose

le plan est partagé en ( 'i H -t- i ) régions, au plus, dont une seule est illimitée. Exemple IV'. — Si l'on trace, dans un plan, n systèmes de circonférences concentriques, et b circonférences non concentriques deux à deux, le plan sera partagé en régions dont le nombre est au plus

•ji 1 Cl -4- ( ^ — i)-r-a,

Les trois théorèmes précédents s'appliquent aux sphères de l'espace.

Exemple V. — Si Ton trace, dans un plan, n systèmes de parallèles contenant respectivement a^, a^, . . . , a^ droites, et m systèmes de circonférences concentriques contenant respectivement C|. Cj, .... C/„ circonférences, et si l'on pose

B :r^lrt,rtj, \V= Sc,Ci,

le plan est partagé en

,i-A4-B-*-2AA'-+-aB'

régions au plus , et le nombre des régions illimitées ne peut sur> passer 2B.

Exemple VI. — Si l'on ajoute b droites et d circonférences quelconques, le nombre précédent augmente de

Les cinq théorèmes précédents sont dus à Steixer.

6i. Le problème des quatre couleurs. — Les formules que nous venons d'établir dans le numéro précédent supposent que toutes les lignes tracées dans un plan sont illimitées dans les deux sens; alors deux couleurs suffisent pour garnir la carte, de telle sorte que deux régions séparées par une ligne soient recouvertes de couleurs différentes. Il y a lieu de reprendre ces formules, lorsque le plan est divisé d'une manière quelconque par des droites et des courbes. On parvient ensuite à la démonstration de ce théorème, proposé pour la première fois par Guthrie, puis par de Morgan : Quel que soit le mode de division d^une carte ou dUin