LES POLYÈDRES

60. Les polyèdres conTexes. — On a le théorème suivant (2) : Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté

( > ) Tait, Note on a theorem iii Geometry of position y dans les Transactions of ihe Royal Society (i88o). Listing's TopologiCj Introductory address in the Edinburgh math. Society y nov. i883, et Philos. Magaz., i88'|. — Reprint of math, papers front the Educational Times; i88i, p. 11 3.

(*) Ce théorème remarquable est habituellement aUribué à Euler {NoviCom^ mentarii Petrop.f 1752); mais on le trouve dans les Œuvres inédites de Descartes, publiées par Foucher de Careil (t. II, p. ai4; Paris, 1860). La démonstration du texte est due à Caucuy.

Ilf) LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

de '1 est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets.

En d'autres termes, si Ton désigne par A, F, S les nombres des arêtes, des faces et des sommets du poljèdre, on a l'égalité

Considérons d'abord une surface polyédrale, convexe et ouverte,

terminée à une ligne brisée plane ou gauche. SI l'on conser>'e les

notations précédentes, les éléments analogues de cette surface

vérifient l'égalité

F -r- S - A ri.

En effet, cette formule a lieu pour une seule face; car, pour un polygone, F= i et S = A. 11 suffit donc de montrer que la formule, étant vérifiée dans le cas de F faces, l'est encore dans le cas de (F -h i) faces. Pour cela, modifions la ligne brisée qui termine la surface polyédrale, en adaptant un polygone de n côtés. Si cette face laisse toujours la surface ouverte, son périmètre ne pourra coïncider entièrement avec celui de la ligne terminale primitive. Si elle possède avec cette face p arêtes communes, elle a avec elle (/? -r i) sommets communs. En désignant par A', F', S' les nombres des arêtes, des faces et des sommets de cette nouvelle surface polyédrale, on aura donc

F'=F-+-î, S'r^S f-Aï -r/? I), A'--\-T-/i~/>,

(l'oii Ton tire

Cela posé, revenons au cas d'un polyèdre convexe. Pour obtenir une surface polyédrale, il suffit d'enlever une face, ce qui ne modifie pas les nombres A et S; donc la relation (i) est démontrée.

Si l'on désigne par fp le nombre des faces k p arêtes, par Sp le nombre des sommets des angles polyèdres à p arêtes, on a les formules

aA = 3/i-h 4/4-h. . .-4-/?/^-t-. . ., aA = 3 58-+-4^*-t-.. '-r-psp-^