CHAPITRE VII. — LA GÉaHÉTRIE DE SITUATION. H

On déduit facilement des précédentes

Exemple /. — Il n'existe aucun polyèdre convexe qui ne renferme au oins une face triangulaire ou un angle trièdre. En effet, on a la formule

Exemple II. — il n'existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces ^îent plus de cinq arêtes. — Il n'existe aucun polyèdre convexe dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.

Exemple III. — L'angle droit étant pris pour unité, la somme de tous les angles d'un polyèdre convexe égale le quadruple du nombre des sommets, diminué de 2.

Exemple IV. — Trouver le nombre des diagonales d'un polyèdre convexe qui ne sont pas situées dans les faces du polyèdre. Si l'on pose

iM — 1 . 3 . y^, H- 2 . 4 . /* -+- 3 . 5 . /s -f- . . . , et si l'on désigne par D le nombre des diagonales, on a

Exemple V. — Le nombre «des régions formées par n plans, tels que deux ne soient pas parallèles, que trois quelconques d'entre eux ne soient pas parallèles à une même droite, et que quatre ne passent pas par un même point, est

les régions finies sont en nombre Cjî^.

Exemple V'I. — Si /?!,/>*, ....pn désignent les nombres de plans parallèles de n systèmes, et si l'on pose

le nombre des régions de l'espace formées par ces n systèmes est égal à

parmi ces régions, (2B -f- 2; sont illimitées, et les autres forment des volumes finis.

Exemple VII. — Le système formé par/? plans quelconques et q sphères partage l'espace en un nombre de régions au plus égal à

i-h C/,-4- C« -4- Cj,-^pqip — i)-^-2q -4-2C}.

Les régions illimitées sont en nombre 2 -+- 9.p(p — 1).

Exemple VIII. — Si l'on considère des systèmes de plans parallèles en

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