LIVRE I

nombres Pi^ pt* Pi, ..., el de sphères concenlriques en nombres qij q±, ^3, . . ., et si Ton pose

A = S/?,, B = S/>,/?„ C — ^PiPtPz,

cet ensemble divise Tespace en un nombre de régions qui ne surpasse pas

, -^ A ^ B -H C "h 2( AB'-+- BA) -+- '}.\'-i- aC:.

Le nombre des régions illimilées est (zB -i- 2).

Les quatre exercices précédents sont dus à Steiner. — Voir une Note de M. Laisant intitulée : Régions du plan et de l* espace (Congrès d'Alger, 1881).

f)6. Les polyèdres convexes réguliers. — Il ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre n de côtés et dont tous les angles polyèdres aient le même nombre m d'arêtes.

En cflTel, on a, par livpolhèsc,

•i A = n F = m S ; par suite, la formule de Descartes donne

f\ni

2( ni -^ n) -- tnn

Puisque m doit être entier et positif, on ne peut faire que les hypothèses suivantes, renfermées dans le Tahleau ci-après, dans lequel D désigne le nomhre des diagonales.

Fig. 00.

Tétraèdre.

Octaèdre.

Icosaédre.

Hexaèdre.

Dodécaèdre.

Les polyèdres réguliers.