CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. II

Remarque. — Nous ne développerons pas davantage, pour le moment, ces études sur la Géométrie de situation; cependant il y a Heu de rappeler les travaux de Poinsot,Cauchy et Bertrand sur les Polyèdres étoiles; ceux de M. Catalan, sur les Polyèdres semi' réguliers , considérés d'abord par Ârchimède ; ceux de Bravais, sur la Cristallographie et sur la Phyllotaxie ; ceux de M. Cayley sur les Arbres géométriques et leur emploi dans la théorie des combinaisons chimiques.

Dans deux importants Mémoires, trop ignorés aujourd'hui, Listing a posé les principes généraux de la Géométrie de situation. Ses Vorstudien zur Topologie (1847) ont été l'objet d'un rapport sommaire dans le Traité d^ Electricité et de Magnétisme de Clerk Maxwell, et d'un exposé élémentaire par M. Cayley, dans le Messenger of Mathematics (1878). Dans son Mémoire de 1861, Der Census railmlicher Complexe, Listing s'occupe de la formation et de la classification des nœuds; cette idée a été reprise dans plusieurs Mémoires présentés à la Société royale des Sciences d'Edimbourg, par M. Tait, qui a retrouvé la plupart des résultats de Listing, à propos de l'idée de Thomson sur les vortexatoms. La Géométrie des nœuds est un des chapitres de la Géométrie du tissage; nous exposerons, dans le second volume de cet Ouvrage, les lois arithmétiques de la Géométrie des tissus à fils rectilignes.

Exemple I. — Les hélices paradronies. — Considérons un long ruban étroit ou une bande de papier, dont les bords sont garnis d'une petite ligne noire ou d'un liséré. Si l'on réunit ensemble les deux extrémités, sans torsion du ruban, on forme une surface composée de deux faces et de deux lisérés; on ne peut aller d'un point de l'une des faces à un point de l'autre, en cheminant sur le ruban, sans traverser l'un des lisérés. Si l'on coupe le ruban suivant sa longueur, on en obtient deux autres séparés.

Il n'en est plus ainsi lorsque l'on réunillesdeux extrémités du ruban, après avoir eiïectué n demi-torsions dans un même sens : i® Lorsque n est un nombre pair, la surface a encore deux faces et deux lisérés formant chacun un circuit fermé; si l'on coupe le ruban dans sa longueur, il se trouve divisé en deux autres possédant chacun n demi-torsions, comme le ruban primitif; mais les deux demi-rubans ne peuvent être sépares l'un de l'autre et se trouvent noués ^nfois. 2** Lorsque le nombre n des demi-torsions est impair, la surface ne présente qu'une seule face et qu'un seul liséré; si l'on coupe le ruban dans sa longueur, le ruban reste unique avec 2n demitorsions, et, pour n > I, il tstnoué.

l'io LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

Ces curieux résultats sont tirés de la Topologie de Listing; ils ont été la base d'un opuscule qui eut un grand succès à Vienne, il y a quelques années, et dans lequel il s'agissait de montrer que Ton pouvait, sans escamotage ou spiritisme, exécuter le célèbre tour de faire un nœud avec une corde sans Jin.

Au lieu de faire une seule coupe longitudinale du ruban, on peut vu faire deux, trois, ..., et Ton obtient d'autres résultats.

Exemple II. — La bande de timbres^poste. — De combien de manière»» peut-on replier, sur un seul, une bande de/? timbres-poste?

Exemple III. — La feuille de timbres-poste. — De combien de manières peut-on replier, sur un seul, une feuille rectangulaire de pq timbresposte?

Nous ne connaissons aucune solution de ces deux problèmes difficiles proposés par !M. Km. Lemoine.