CHAPITRE VIII

LA MULTIPLICATION ALGÉBRIQUK.

67. Multiplication des polynômes. — Multiplication des monômes; — d'un polynôme par un monôme; — de deux polynômes. — Règle des signes.

Le produit de plusieurs polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique qu'on appelle le produit effectué. On opère habituellement comme il suit : on multiplie successivement tous les termes du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le premier, le second, . . . , le dernier terme du second polynôme. On obtient ainsi un premier produit partiel; on fait, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables. On multiplie ensuite chacun des termes du produit partiel successivement par le premier, le second, . . . , le dernier terme du troisième polynôme, en commençant toujours par la gauche, et ainsi de suite.

Le produit des polynômes A, B, C, . . . , L est la somme de tous les produits de n facteurs formés avec un terme de A, un terme de B, . . . , et un terme de L; s'il n'y a aucune réduction, le nombre des termes du produit est égal au produit des nombres des termes des facteurs.

Soit, en général,

A ^^ aj -+- «2 -^ «3 -+- • • . -*- «a , B — 6i -f- ^2 -1- bz -i- . . . -4- b^ , C = Cl -H Cj -+- C3 -î- . . . -i- c^- ,

Pour faire la multiplication des polynômes A, B, C, ..., on multiplie tous les termes de A successivement par tous ceux de B pris dans Tordre de gauche à droite; puis on multiplie tous les termes du produit par ceux de C, et ainsi de suite. Un terme quelconque a une expression de la forme a^b^CY . . . , en désignant

121 LIVRE I. — LES NOMBRES EXTIEâS.

par x' l'un des enliers 1,2 a, et de même pour ^' el pour -v^.

Dans le produit total, les termes pris dans Tordre successif sont d'abord ceux qui ne contiennent que a, en nombre z; puis ceux qui ne contiennent que a ou h, pris séparément ou simultanément; ils sont en nombre z]ï; puis les termes du produit par C qui sont en nombre 2]^^. et ;iinsi de suite. On voit ainsi que le rang du terme ^ii'I^^CydTy est fourni par Texpression

n — %i»^'/j - a^Y -+- ai -:- a .

• I il

Inversement, lorsque n est donné, on observe que 0' est Pentier de la division de n par a^âv, que y' est l'entier de la division du reste par a^, et ainsi de suite. En particulier, si a= p = y= S, la détermination du terme qui correspond à un rang donné n revient à écrire n dans le système de numération de base a.

Ainsi, dans le produit

pour avoir le signe du terme de rang /i, on écrit ce nombre n dans le système de numération binaire; le terme correspondant est positif, ou négatif, suivant que le nombre des i, et celui des o qui terminent /i, sont, ou ne sont pas, de même parité.

Carré d'un polynôme, — Interprétation géométrique :

Cube cV un polynôme, — Interprétation géométrique :

Quatrième puissance d'un polynôme, — On a la formule (Sa)^ :^ Sa^-i-42a'6-+-GSa2i»2 f-i22rt'^c-H24Sa6c6?.

On trouvera plus loin la formule générale qui donne le développement de la "|)uissance d'un polynôme.

Exemple I. — Si l'on désigne respectivement par A, B, C, D les polynômes

a — b — c, b — c — rt, c — a — 6, a-f-6-i-c,