III. — La congruence

xP — X ^ o (mod. p)

a p solutions qui sont 0,1, ... p — i, d'après le théorème de Fermât.

5. Problème. — Connaissant un entier a appartenant à l'exposant d, trouver tous les entiers appartenant à F exposant d. Il est évident qu'un tel entier est solution de la congruence

(12) x^ — I ^ o (mod. p)

Cherchons donc les solutions de cette congruence. On en a une, à savoir a. Si l'on considère les entiers

il est évident que ces entiers sont solutions de la congruence (12); de plus ils sont incongrus deux à deux (mod. p), puisque a appartient à l'exposant d. Or ils sont au nombre de d; comme la congruence (12) a justement d solutions (Applic. II du n° 4)» ce sont toutes les solutions de la congruence (12). Ainsi les entiers appartenant à l'exposant d doivent être cherchés dans la suite (i3). Soit à' un de ces entiers. L'exposant auquel il appartient est le plus petit entier positif c? tel que

(a')o = i (mod. p)