III. - D

donc a = i, alors 6 = i et c = 2. Une classe caractérisée par la forme réduite (i, 1,2).

IV. — D = 8, Une classe caractérisée par la forme réduite (i. o, a).

DÉTERMl.NATION DES CLASSESDE DÉTERM1>AM DONNE 34 1

a <^ v/4 a = I ou 2.

Sia=i,fe = o, c = 3 d'où la forme réduite (i , o, 3).

Sia;= 2, 6 = 0 ou 2. Pour 6 = o, c = - valeur non entière.

Pour fe = 2 , c = 2 d'où la forme (2, 2, 2).

On trouve deux classes l'une primitive, l'autre de plus grand diviseur égal à 2,

D'une façon générale si D est divisible par un carré 8*, si de plus

^ ^ o ou — I (mod A), parmi les classes de disciiminant D on trouvera les produits par 5 des classes de discriminant ^j.

Soit par exemple D = 5oo. D est divisible par trois carrés 4. ^5 et

100. Or — et ne sont pas des discriminants, tandis que -= = 20

en est un. Donc les classes de discriminant D se répartissent en deux ordres (n° 153), celui des classes primitives et celui des classes de diviseur 5 obtenues en multipliant par 5 les classes primitives de déterminant 20.

VI. — D --= i5. x\ priori on ne trouvera que des classes primitives. On en trouve deux représentées par les fermes (i, 1, 4) et (2, i, 2).

185- Cas des formes indéfinies. — On se donne un déterminant A positif, on veut trouver toutes les classes et pour cela toutes les formes réduites ayant ce déterminant. On a vu (n" 175) que dans une forme réduite indéfinie a et c sont de signes contraires.

Donc, puisque 6^ — ^ac = A il en résulte :

62 < A d'où, 6 étant négatif (n" 175)

On prendra tous les entiers 6 satisfaisant à ces inégalités et qui

sont de même parité que A ; leur nombre est fini.

Ayant choisi 6, on a

ac = 7 — •

On décomposera de toutes les façons possibles l'entier négatif

342 THÉoniE DRS NOMBKES

— -. — en un produit de deux facteurs. On prendra le facteur

positif pour a, le facteur négatif pour c. On ne retiendra de ces valeurs que celles qui satisfont aux conditions (no 175)

leur nombre est fini. Les formes ainsi trouvées sont toutes les formes réduites de déterminant A. Mais deux formes réduites indéfinies peuvent être de même classe. Il restera donc à voir parmi les formes obtenues quelles sont celles qui sont de même classe.

Exemples. 1. — A = 5. On a

et b est impair. Donc b= — i .

Alors ac = — i. Donc a = i, c = — i. Il n'y a donc qu'une classe de déterminant 5 représentée par la forme réduile(i, — i, — i).