DETERMINATION DES CLASSES APPARTENANT A UN DETERMINANT DONNE

184. — Nous avons eu, dans le chapitre précédent, à considérer toutes les classes appartenant à un déterminant donné. Le problème se pose donc maintenant naturellement, de rechercher toutes ces classes. C'est ce que nous allons faire en cherchant toutes les formes réduites dont le déterminant est égal à ce déterminant donné. En ))articulier nous démontrerons que le nombre des classes appartenant à un déterminant donné est fini (•).

Cas des formes définies. — On se donne un discriminant D positif. On veut former toutes les classes ayant ce discriminant. On peut se borner aux formes définies positives, car si (a, 6, c) est une forme définie positive ayant un discriminant D ;

est une forme définie négative ayant le même discriminant et réciproquement. D'ailleurs une forme positive et une forme négative ne peuvent être de même classe. Donc on formera toutes les classes positives de discriminant D, on leur adjoindra les classes opposées et Con aura toutes les classes de discriminant D.

Enfin puisque dans chaque classe il y a une forme réduite et une seule (n" 158) le problème se ramène à former toutes les formes réduites positives de discriminant D.

On a vu (n° 158) que dans une forme définie réduite on a

{') Lagrangb, Nouv. mém. Ac. Berlin, 1778, p. 2G2, et 1775, p. 323,

34o THÉORIE DES NOMBRES

On en déduit, a étant positif

Etant donné D on prendra donc tous les entiers positifs a satisfaisant à cette condition ; leur nombre est fini. Ensuite dans une forme réduite on a

de plus b est de même parité que D. Donc, ayant choisi a on prendra toutes les valeurs de 6 satisfaisant à ces conditions ; leur nombre est fini.

Ayant choisi a et 6 on détermine c par l'égalité

On ne retiendra la valeur de c ainsi trouvée que si elle est entière et si (a, 6, c) est réduite. Le problème est ainsi résolu, et l'on voit qu'il n'a qu'un nombre fini de solutions.

On est d'ailleurs sûr qu'il en a (n° 154).

Exemples. I. — D = 3.

donc a = 1, alors 6 = ± i et c = i , on a donc les deux formes (i, 1, i) et (r, — I, i). Mais la seconde n'est pas réduite.

Donc il n'y a qu'une classe de formes réduites positives, et de discriminant I, celle caractérisée par la forme réduite (i, i, i).