INDICES

Exemple : soit p = 19, g = 2; d'après le tableau dcnné au n° 7 on voit que l'indice de 1 est o, celui de 2 est i, celui de 3 est i3, etc.

Propriétés des indices (*}. — Soit i l'indice de a, la base étant ^ ; on a

a ^ g' (mod. p).

On voit que l'indice de i est zéro, et que celui de ^ est i.

Théorème 1. — L'indice d\in produit de fadeurs est congru {mod. p — i) à la somme des indices des facteurs.

Soit

a' ^ g^' / mod./)). ,

On en déduit :

aa' ... = g' + '' + - {mod. p)

ce qui démontre le théorème.

Corollaire. — L'indice de a*" (m entier positif) est égal à m fois l'indice de a.

Théorème II. — L'indice du rapport {mod. p), (I. 417) de deux entiers a et 6, est congru {mod. p — i) à la dijjérence entre P indice de a et celai de b.

Soit

5 = 7 (™od. p).

On en déduit

a^bq (mod. p).

Donc

Ind a ^ Ind b -h Ind q (mod, p — 1) d'où

Ind q ^ Ind a — Ind b (mod. p — i).

Généralisation du corollaire du théorème L — L'énoncé de ce corollaire reste vrai si l'on suppose que m est un entier non positif. Pour m = o il est évident. Pour m négatif, soit m = — m'. Par

{}) Oa remarquera l'analogie entre ces propriétés et celles des logarithmes.

définition a '"' ^ -^, . On a donc :

Ind a"' = Ind (a"'"') = Ind f-^^A = Ind i — Ind (a»»') = — m' Ind a^ m Ind a (mod. p — i).

10. De la racine m^nie (mod. p). — Extraire la racine m^™® (mod. p) d'un entier a c'est trouver un entier x tel que :

(i6) X"' ^a (mod. p).

icr Cas. — Soit a ^ G (mod. p). Dans ce cas la congruence (i6) a une solution et une seule œ ^ o.

2* Cas. — Soit a ^ I (mod. p). La congruence (i6) est alors

(17) ac*» ^ I (mod./)).

Prenons les indices des deux membres (la base étant quelconque). Il vient :

(18) m Ind a; ^ G (mod. /) — 1).

La ' congruence du premier degré (18), où l'inconnue est Ind X, a D(m, p — i) solutions (I, 829 et 33o), données par la formule

D(nf,7-i)^ (X = o,i,...D(m,p -.,)-!) Il en résulte que la congruence (16) a aussi D(m, p — i) solu-

lions données par la formule (jr^ ('">/' — 0 oii ^ désigne la base. On voit que ce sont les puissances successives de l'une d'elles p — ' g DC", p — i)^ çg qyg j-Qjj savait déjà (n° 5). Pour ). = o on a

la solution x ^ i , évidente a priori.

Si m est premier h p — i, il n'y a qu'une solution qui est a: ^ I.

Dans tous les cas l'ensemble des solutions ne dépend évidemment pas de g.

Si l'on avait choisi une autre racine primitive g', l'ensemble des

nombres g' ^C'"» P — 0 aurait été identique à l'ensemble des nom-

bres g^^"^' P — '; •

RACINE m^"'^ (mOD. p) I'J

On peut encore remarquer le théorème suivant, évident d'après ce qu'en vient de dire.

Théorème, — Les racines de la congruence x"* — i ^ o (mod. p)

sont les mêmes que celles de la congruence x ^'"' ^ ~ '' — i ^ o (mod. p).

3* Cas. — Soit a ^ o (mod. p) quelconque d'ailleurs.

Dans ce cas en prenant les indices des deux membres de la congruence (i6) on trouve :

(19) m Ind X ^ Ind a (mod. p — 1).

11 faut alors, distinguer suivant que D(m, p — i) ne divise pas ou divise Ind a (I. 829 et 33o). Si D(m, p — i) ne divise pas Ind a, la congruence {19) et, par suite, la congruence (i6) est impossible.

Si D(m, p — I ) divise Ind a, la congruence ( 1 9) a D(m, p — i) solutions données par la formule

/'o étant l'une des solutions. Il en résulte que la congruence (16) a aussi D(m, p — i) solutions données par !a formule

On voit que lorsque la congruence (16) est possible toutes ses solutions se déduisent de Tune d'elles en la multipliant par les solutions de la congruence (17), ce qu'on peut énoncer : Toutes les racines m^""^* [mod. p) d'un entier a, lorsqu'elles existent, se déduisent de tune délies en la multipliant par toutes les racines „jèmes (^mod. p) de l'unité.

Ce dernier résultat peut d'ailleurs se démontrer, a priori, de la façon suivante. Soit ç une racine m^^^ de a. Faisons, dans la congruence (16), le changement d'inconnue x^zy (mod. p). La congruence en y est alors y"' ^ i (mod. p).

Cas particuliers. — Lorsque m est premier avec p — i la congruence (16) est possible et a une solution.

Restes de puissance. — Quand la congruence (16) est possible on dit que a est puissance m^"^ parfaite (mod. p), ou que a est un reste de puissance m^""® par rapport au modale p. Dans les cas

Cabbh. — Théorie desjnombres, t. II. a

lîS THKORIE DES NOMBRES

particuliers m = 2, 3, 4, on emploie respectivement les expressions : reste quadratique, cubique, biquadratique .

D'après la définition précédente l'entier o est un reste de puissance m*'"** pour toutes valeurs de m et de p. Cependant nous conviendrons de le laisser de côté et nous réserverons le nom de restes de puissance m*""® à ceux qui sont différents de zéro (mod. p).

Condition pour qu'un entier a soit un reste de puissance m*"^ {mod. p). — Nous venons de trouver que cette condition est que D(m, p — i) divise Ind a ; de façon que les restes de puissances m*'"*' sont :

Mais cet énoncé de la condition contient la base g, tandis qu'il est évident a priori que la condition elle-même ne dépend pas de g. Modifions donc cet énoncé.

Si D(m, p — i) divise Ind a, on a

Ind a = AD(m, p — i) (/c entier). Donc :

a = 9''"^'"'^-')(mod.p).

En élevant les deux membres à la puissance î^t-^- — — — r , il vient :

a»^'"'P-'^ = g^^ - ') (mod. p)

et, par conséquent :

(20) 0^^'"'/'-'^= I (mod.p).

Réciproquement, si la condition (20) est remplie on a, en prenant les indices des deux membres

(p— i)Inda , , ,

TY? \ ^ o (mod. p — i).

Donc

D(m, p — 1) divise Ind a.

En résiamé la condition trouvée d'abord est équivalente à la condition (20) laquelle est indépendante de g et est la condition cherchée.

RESTES QUADRATIQUES I9

Il en résulte qu'il y a î^^- — zi~r) ^^^^^^ ^® puissances m*™^*. Car la congruence (20) ou a est considérée comme l'inconnue a

rTr X solutions (corollaire du n" 6). On obtient ces restes

en appliquant la méthode donnée pour trouver toutes les solutions de la congruence x"^ ^ i (mod, p), ou encore en élevant à la puissance m^""® les entiers i , 2 , ... p — i et s'arrêtant au moment

ou l'on a obtenu r^ ^ résultats différents.

Dl^m, p — i)

Cas particuliers. I. — Condition pour que a soit reste quadratique de p (premier impair). Il faut faire m = 2. Laissons de côté le cas de p = 2 pour lequel il y a un reste quadratique qui est i . Alors D(2, p — 1) = 2 et la condition (19) devient :

p — I a ' ^ I (mod. p).

II. — Condition pour que — i soit reste de puissance /n*""" de p {premier impair).

La condition (20) devient

p — ' ( ijïX'".? *- ') ^ j.

La condition nécessaire et suffisante est donc que

rrr^ r soit pair

autrement dit que la plus haute puissance de 2 qui divise m, soit d'un exposant inférieur à la plus haute puissance de 2 qui divise

Théorème, — Lorsque a n'est pas reste quadratique de p {pre~ mier impair), on a :

p — ' a ^ ^ — I (mod. p).

En effet, le théorème de Fermât donne :

a^~ —1^0 (mod. p)

ou

\a ' — ij \a ^ -h 1/ ^ o (mod. p).

Or le premier facteur du premier membre n'est pas ^o (mod. p) puisque a n'est pas reste quadratique. Donc le second l'est ce qui démontre le théorème. En résumé a est reste ou non reste de p

p — I suivant que a " ^ h- i ou — i (mod. p).

Application ('). — L'entier — i est reste quadratique des nombres premiers de la J or me f\h-\- i, il est non reste de ceux de la forme [\h — i . (Tout nombre premier est d'ailleurs de l'une ou de l'autre de ces deux formes).

En effet, si

on a

et si

on a

p = lih~ 1