III. — p étant premier, on a

2''~* I I I II I / j \

{Eisenstein, Monatsber. d. Berl. Akad., i85o, p. 4I)• Si /; ^E I (mod. 4) on a aussi

^ l(ï + 5 + - + p-rh) = K' - 5 + - - ;T:b)-

Si p ^ — I (mod. Il), on a

P 3 \3 7 p —kl

les congruences étant mod. p. Slern. J.J. r. u. a. M., t. 100 (1887), p. 182,

IV. — On a, dans certaines questions, été conduit à étudier l'expression

définie au module/) près, en particulier à voir dans quels cas elle est

= o (mod. p) (voir n° 18). Les relations de l'exercice III donnent des expressions de 9(2). Démontrer les relations suivantes :

q{a-^ph) = q{a) — -^ > (mod. p) q{ab) = q{a) H- 7(6) )

qui permettent de ramener le calcul de q (a) au cas où a est un nombre premier plus petit que p.

On a aussi les relations

q{—a) = q{a) - qil) = 0 q{p—l)=l

qui jointes aux précédentes permettent de simplifier encore le calcul. Il y a /) — i valeurs de a (définies au mod. p^ près) pour lesquelles q{a) prend une valeur donnée A (définie au mod. p près). Ce sont les valeurs

H^ -^ pqQ') — p^] (X = 1,2, ... p — 1).

En particulier les valeurs pour lesquelles

q(a) = o sont X(i+p7(X)^,

V. — Calculer les racines primitives du nombre premier 3 001, du nombre premier 5oo3.

VI. — La somme des racines primitives d'un nombre premier p est congrue à zéro (mod. p) quand p — i a des facteurs premiers multiples. Dans le cas contraire, la somme en question est congrue à + ou — I suivant que le nombre des facteurs premiers de p — i est pair ou impair (Gauss., Disqu., art. 81).

VII. — Le produit des racines primitives d'un nombre premier p > 3 est congru à i (mod. p). Plus généralement, le produit des entiers qui appartiennent à un exposant e > 2 est congru à 1 (mod. p).

VIII. — En appelant gn, g.^, ... gi des racines primitives d'un nombre premier p, démontrer que

Ind^^^fj X Ind^.S's X ... X In^^^j^n X Ind^^^fj = 1

(Généralisation de la relation du n° 14).

IX. — Le produit 1.2 ... {n — 1) est divisible par n, sauf lorsque n est premier ou lorsque n = l\.