Considérons l'idéal
(«1 H- 6,00, fls -f- b^ta, ...)
dont la base est formée par les entiers conjugués de ceux qui forment la base du précédent.
Pour calculer sa norme, son diviseur et son résidu, on peut
répéter les calculs précédents en remplaçant tti par w. I>onc on
trouvera les mêmes résultats. Sa. donc le premier se met sous la
forme réduite d[ — r -h <«>, «], le second se met sous la forme
'<?[ — r + w, n]. C'est donc l'idéal conjugué du précédent.
PROttCrr DE DEUX IDEAUX 687
363. Produit de deux idéaux. — On appelle produit des deux idéaux (a, ^S, ...) et (a, |B', ...) l'idéal («a', a,3', ... jSa', j3,^', ...) dont les éléments de la base s'obtiennent en multipliant de toutes les façons possibles un élément de la base du premier par un élément de la base du second. Il faut montrer que cette définition ne dépend pas des bases choisies pour les facteurs. Or soient (a, j3, y), (a,, |3i) deux bases pour un même idéal A et (a', |3'), {^■i\^i 1 7i'»<^i') deux bases pour un même idéal A'. 11 faut montrer que les idéaux (aa', ap', ^(x! , ^p', 7a', yp') et
(a^a/. «ijS/, a,Vi', a.cJ^»', /3,a/, /3,p/, /Siy/. ^iC^i') '
sont identiques.
Pour cela il faut montrer que chaque élément de l'un d'eux appartient à l'autre (n" 354). Considérons par exemple aa', élément de la base du premier. Puisque a appartient à A il peut s'écrire «i^ -f- jSr/j, puisque a! appartient à A' il peut s'écrire ai'^ + jSi'5 -4- yi'X -+- ^i '/JL (^, >î, Ç, S, )., [j. étant des entiers du corps). Donc
^z' = a.or/K -4- «,^/$6 -h ... -h ^iS.'r.fx
qui appartient bien à l'idéal (aia/, ... /3i(^i).
Le produit de plus de deux idéaux se définit de proche en proche comme ordinairement.
La multiplication des idéaux est une opération commutative et associative.
Dans le cas de deux idéaux principaux (a) et (a') leur produit est par définition l'idéal principal (aa'). Donc la multiplication des entiers est un cas particulier de celle des idéaux.
Théorème. — Le produit d'un idéal par l'idéal conjugué est égal à la norme de cet idéal.
Il suffit de le démontrer pour deux idéaux primitifs. Soient
( — r -\- tû, n) et ( — r -h w, n). Leur produit est
(( — r + u)) {—r -h o>), ( — r -\- tù)n, ( — r -t- w)rt, fi*)
ou
'^L n * — r-4- o), — r— p — u>, /ij
Il faut donc démontrer que
1^ ^- , — r+ o), — 2r- p, nj = I.
Il suffit pour cela de démontrer que les trois entiers ordinaires
r^ -H pr — k
sont premiers dans leur ensemble.
Supposons-leur d'abord un facteur premier commun impair p.
Ce facteur entrant dans n et dans entrerait au carré
Al
dans r^ -{- or — k. Mais il entrerait aussi au carré dans {2r-\-py, donc aussi dans (ar H- pY — fi[r^ -J- or — k) c'est-à-dire dans A. Or c'est impossible puisque A = m ou 4 w, et que m ne contient pas de facteur carré.
Il reste à démontrer que les trois entiers ne sont pas tous pairs. C'est évident si p = i ou si n est impair. Supposons donc p = o et n pair.
De p = o on déduit m :^ 2 ou 3 (mod !^) et k =^ m.
\)q, n et pairs on déduit r^ — m ^ o (mod 4)- Or c'est
impossible car r^ ^e o ou i (mod 4).
364. Théorème. — La norme d'un produit d'idéaux est égale au produit des normes de ces idéaux. Soient les idéaux I, J, K, ...
Soient I, J, Ki ... les idéaux conjugués. On a
%{l) = lî %(J) = J J
Donc
