CORPS DOM TOUS LES IDEAUX SONT PRINCIPAUX
lïiiers qui sont représentables dans ces classes ; chacun d'eux ne sera représentable que dans une classe et son inverse (n° 264, th. I). Parmi eux il y en aura pour lesquels ces classes ne seront ni la classes principale ni celle-ci changée de signe ; car sinon tous les entiers représentables primitivement dans des classes primitives de déterminant à ne le seraient aussi que dans la classe principale ou la principale changé de signe (n" 264, th. III), de sorte que les autres classes ne représenteraient primitivement aucun entier, ce qui est absurde.
Ayant ainsi un entier représentable primitivement dans une classe primitive de déterminant A mais non dans la classe principale ou dans celle-ci changée de signe, si on forme les idéaux ayant cet entier pour norme ils ne seront pas princicipaux.
La condition est évidemment suffisante d'après le calcul du no 358.
Remarque. — Comme vérification considérons les corps :
C(i), C(iVâ), G(i/3), C(iV7), COVH), C(v/3),
G(/3), CWh), .G(v^T3)
pour lesquels nous avons vu (n*' 353) qu'il y a une théorie analogue^ à celle de la division des entiers ordinaires. Partant de ce fait, on peut, dans ces corps, reprendre les raisonnements faits pour les entiers ordinaires et démontrer que toute forme linéaire à plusieurs variables est équivalente à une forme à une variable, c'est-à-dire que tout idéal est principal. Donc pour chacun de ces corps il n'y a de classes primitives pour le déterminant A que la classe principale ou cette classe changée de signe, ce que l'on vérifiera facilement.
Mais ce ne sont pas les seuls. Par exemple le corps C(/ /ïg) a comme déterminant — 19, auquel ne correspond que la classe primitive (i, i, 5) et cette classe changée de signe. Donc tous les idéaux de ce corps sont principaux.
De même pour le corps C{\/6), etc.
L'importance particulière de ces corps résulte de ce que, comme on le verra plus loin la décomposition des entiers du corps en entiers indécomposables ou premiers est univoque, | absolument [comme pour les corps où il y a une division.
686 TllfiORlE DES NOMBRES
361. — CtUailer la norme^ le diviseur et le résidu d'un idéal donné par une base.
Soit l'idéal
{ai -h biui, 02 H- 62W, ... «„ -\- fe„w).
On forme
{ai -h biw) (a:i -+- J',») 4- ... -h (a,» + b^ui) (x^ -f- y„u))
-c'est-à-dire
aiXi -\- bikji H- ... -+- a^x, -h bnky^
-f- [6,x, H- (a, — b^)J, H- ... + 6,a;„ 4- (a,. — VW^
et l'on met sons forme réduite le tableau
ttj bik ... <ï„ 6„A;
Le tableau réduit à la forme
— dr du do ■ avec
On a ainsi les entiers d, r. n, demandés.
D'après les propriétés des tableaux on voit ainsi que le plus grand commun diviseur des entiers ai^bi est \ d \ \ le plus grand commua diviseur des entiers at, kbiesl j d j D{rtn); le module du tableau donné esl la norme d^n de HdéaL
