IDÉAUX FRACTIONNAIRES
Le diviseur du produit est égal au produit des diviseurs des facteurs quand II' ... est un idéal primitif. Mais un produit "d'idéaux primitifs n'est pas toujours primitif. Exemple :
(a -+■ 6«) {a + b(S) = a^ — pab — kb^.
Théorème. — La multiplication des idéaux est une opération Ainipare. C'est-à-dire que de IJ = Ui on déduit J = Ji et que de ÏJ = IjJ on déduit I = Ii.
Le second théorème revient au premier en vertu de la commutativité de la multiplication. Démontrons donc le premier.
Il est évident si I est un idéal principal (a) puisque dans ce cas tes éléments de IJ sont les éléments de J multipliés par a, et les éléments de IJj, les éléments de Ji, multipliés aussi par a.
Si I n'est pas un idéal principal multiplions les deux membres de l'égalité IJ = IJi par I, idéal conjugué de I. Il vient IIJ = IIJi.
Or II est un idéal principal. Donc l'égalité entraîne J = Jj.
Corollaire. — Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut que l'un des facteurs le soit.
365. Idéaux fractionnaires. — Un idéal fractionnaire se définit comme un nombre fractionnaire ordinaire (I. 1 14). C'est l'ensemble
J de deux idéaux entiers. Par définition j = jf > quand IJ' = l'J.
Les résultats des n»" 114 à 116, 118, 119, 125, 126, 128 à 135
s'appliquent aux idéaux fractionnaires. En particulier quand I est
■divisible par J, soit I = JQ alors j est identique à Q.
La norme de j est, par définition, œnjy
On peut toujours mettre un idéal fractionnaire sous forme telle que son dénominateur soit un entier existant, et même un entier ordinaire. Il suffit de multiplier ses deux termes par l'idéal conjugué du dénominateur. On a ainsi
i IJ
On déduit de là le théorème suivant :
Cahen. — Théorie des nombres, t. II. 44
690 THÉORIE DES flOMBRES
Pour que le rapport de deux idéaux j soit un nombre fraction^
naire existant il faut et il suffit que IJ soit un entier existant. Idéaux fractionnaires conjugués. Par définition le conjugué de
y est — . Le produit de deux idéaux conjugués -r x — est égal à
js^-tVsÎ C'est un nombre rationnel.
Pour que le rapport de deux idéaux fractionnaires soit un nombre Jractionnaire existant, il faut et il suffit que le produit de Tun par le conjugué de l'autre soit un nombre fractionnaire existant. Ce théorème, généralisation de celui énoncé plus haut pour les idéaux entiers se démontre de la même façon.
366. — Entiers congrtis suivant un idéal I. Ensemble complet (mod I).
On dit qu'un entier a est divisible par un idéal I lorsque a appartient à 1. On écrit alors a ^ o (mod I).
Remarquons qu'il n'est pas évident que dans ce cas il existe un idéal K tel que a = IK, mais cela sera démontré plus loin. Les conditions pour qu'un entier a -H 6w soit divisible par un idéal d{ — r -¥■ (li, n) s'expriment par des congruences ordinaires de la façon suivante :
Il faut exprimer qu'il a deux entiers ordinaires x, y, tels que
d'où
d'où
a -h 6(0 = d[( — r -^ oi) X -h nj]
dx = b d{ — rx -+- ny) = a
b a -h br
^~d y — dn '
Les conditions cherchées sont donc :
6^0 (mod d) a 4- 6r = 0 (mod dn)
DIVISIBILITÉ d'Ux\ idéal PAR V^ AUTRE 6.gi
Qu encore
a ^.0 (inad; d) 6^0 (mod d)
-> + 7 r ^ o (mod n).
On dit que deux entiers a, ^ sont congrus (mod I) lorsque a — j'î^est divisible ^wiL-lUn ensemble complet (mod.l) se.diSnit comme pour les entiers ordinaires ^^I. 314). C'est, un sytstème d'entiers tels que deux d'entre eux soienl incûngrus (mod I), et que tout entier du corps soit congru (mod l) à l'un d'eux. Autrement dit ce sont des entiers tels que deuxd'entre eux soient incongrus (mod I) et en nombre le plus grand possible.
Théorème. — Lenombre des entiers d' un système complet {mod 1) est égal à la norme de I.
En effet pour que deux entiers du corps a -+■ br^ et a' -\- b'r,)' soient congrus suivant un idéal I = [f?( — r + w), dn^, il faut et il suffit que
6' — 6) = 0 (mod d) a' — a -h (fc' — 6) r ^ 0 (mod dn).
On aura donc un système complet en donnant d valeur à b formant un système complet (mod d) puis dn valeurs à a formant un système complet (mod dn).. Qn. trouve aussi d^n c'est-à-dire *ïb(I) valeurs pour a -+- 6w.
367. Divisibilité d'un idiéal par un autre. — En généralisant la définition du n° précédent, noua disons qu'un idéal K est divisible par un idéal I quand tous les nombres de K appartiennent à I.
Mais il y a:une autr«:définilion.(çii s'impose : K est divisible par I quand il existe un idéal H tel que K = IH.
Nous aUona moBtrer que ce^^deux. définitions, sont éqfiivalenies.
M est évident q^e deux, idéaux qui satisfont à la. seconde définitioa sartisfontà la gremièra.. Il faut démontrer la réciproque,, c'estrà-dire que
TiiÉDaÈMa., — Si tous le^ nombres. de¥^app.artiennent.àl., il eadste un idéal Hî tel. que EH = K.
Démontrons ce théorème d'abord, dans, le cas particulier, oui L a&t
un idéal principal (a) . Ainsi tous les nombres de K sont multiples de a. Soit K = (]S, 7), |S et y sont des multiples de «. Soit :
Alors
Démontrons maintenant le théorème dans le cas général. Puisque tous les nombres de K appartiennent à I, tous les nombres de Kl appartiennent à II . Mais lî est un idéal principal dont la base est %{Vj. On a donc
Kr==:iîH
ou
